数値の平方根は、それ自体を乗算すると、元の数値を与える値です。 たとえば、0の平方根は0、100の平方根は10、50の平方根は7.071です。 場合によっては、それ自体が「完全な正方形」である数値の平方根を理解したり、単に思い出したりすることができます。これは、整数にそれ自体を掛けた積です。 研究を進めるにつれて、これらの数字の精神的なリストを作成する可能性があります（1、4、9、25、36。. .).
平方根に関連する問題は、工学、微積分、そして現代世界のほぼすべての領域で不可欠です。 オンラインで平方根方程式計算機を簡単に見つけることができますが（例については「参考文献」を参照）、平方根方程式を解くことは重要です。 代数のスキル。これにより、部首の使用に慣れ、平方根の領域外の多くの問題タイプを処理できるようになります。 それ自体。
平方根と平方根：基本的なプロパティ
2つの負の数を乗算すると正の数が得られるという事実は、平方根の世界では重要です。 その正の数には実際には2つの平方根があります（たとえば、前者だけが直感的であっても、16の平方根は4と-4です）。 同様に、負の数は、それ自体を乗算したときに負の値をとる実数がないため、実数の平方根はありません。 このプレゼンテーションでは、正の数の負の平方根は無視されるため、「361の平方根」は「-19と19」ではなく「19」と見なすことができます。
また、電卓が手元にないときに平方根の値を推定しようとするときは、平方根と平方根を含む関数が線形ではないことを理解することが重要です。 これについては、後のグラフに関するセクションで詳しく説明しますが、大まかな例として、100の平方根が10で、0の平方根が0であることをすでに確認しています。 一見すると、これにより、50の平方根（0と100の中間）は5（0と10の中間）でなければならないと推測される可能性があります。 しかし、50の平方根が7.071であることもすでに学習しました。
最後に、2つの数値を掛け合わせると数値が得られるという考えを内面化したかもしれません。 それ自体よりも大きく、数値の平方根が常に元の値よりも小さいことを意味します 数。 これはそうではありません！ 0から1までの数値にも平方根があり、いずれの場合も、平方根は元の数値よりも大きくなります。 これは、分数を使用して最も簡単に表示されます。 たとえば、16/25、つまり0.64は、分子と分母の両方に完全な正方形があります。 これは、分数の平方根がその上部と下部のコンポーネントの平方根であり、4/5であることを意味します。 これは0.80に等しく、0.64より大きい数値です。
平方根の用語
「の平方根バツ"は通常、いわゆる根号、または単に根号（√）を使用して記述されます。 したがって、バツ:
\ sqrt {x}
その平方根を表します。 これをひっくり返して、数の二乗バツ2の指数を使用して記述されています（バツ2). 指数は、ワードプロセッシングおよび関連するアプリケーションの上付き文字を取り、パワーとも呼ばれます。 根号はオンデマンドで作成するのが必ずしも簡単ではないため、「バツ"は指数を使用することです：
x ^ {1/2}
これは、一般的なスキームの一部です。
x ^ {（y / z）}
「上げる」という意味ですバツの力にy、次に 'を取るz「その根源。」バツ1/2 したがって、「上げる」を意味しますバツ一乗する、それは単にバツもう一度、その2根、または平方根を取ります。」これを拡張すると、バツ(5/3) 「上げる」という意味ですバツ5の累乗で、結果の3番目のルート（または立方根）を見つけます。」
ラジカルは、平方根である2以外の根を表すために使用できます。 これは、部首の左上に上付き文字を追加するだけで実行できます。
\ sqrt [3] {x ^ 5}
次に、と同じ番号を表しますバツ(5/3) 前の段落からです。
ほとんどの平方根は無理数です。 これは、それらが適切ではないだけでなく、きちんとした整数（1、2、3、4など）であることを意味します。. 。）ただし、四捨五入せずに終了する10進数として表現することもできません。 有理数は分数で表すことができます。 したがって、2.75は整数ではありませんが、分数11/4と同じであるため、有理数です。 50の平方根は7.071であると以前に言われましたが、これは実際には無限の小数点以下の桁数から四捨五入されています。 √50の正確な値は5√2であり、これがどのように決定されるかがすぐにわかります。
平方根関数のグラフ
平方根と平方根を含む方程式が非線形であることはすでに見てきました。 これを覚える簡単な方法の1つは、これらの方程式の解のグラフが線ではないことです。 前述のように、0の2乗が0で、10の2乗が100であるが、2乗の場合、これは理にかなっています。 5の50ではない場合、単に数値を2乗した結果のグラフは、正しい方向に曲がる必要があります 値。
これは、のグラフの場合です。
y = x ^ 2
リソースの計算機にアクセスしてパラメータを変更することで、自分で確認できます。 線は点（0,0）を通過し、yは0を下回りません。これは、次のことを知っているため、予想されるはずです。バツ2 決して否定的ではありません。 また、グラフが周囲で対称であることがわかります。y-軸。これは、指定された数のすべての正の平方根が同じ大きさの負の平方根を伴うため、意味があります。 したがって、0を除いて、すべてyのグラフの値y = バツ2 2つに関連付けられていますバツ-値。
平方根の問題
基本的な平方根の問題に手作業で取り組む1つの方法は、問題の中に「隠された」完全な平方を探すことです。 まず、平方根と平方根のいくつかの重要な特性に注意することが重要です。 これらの1つは、√と同じようにバツ2 は単に等しいバツ（部首と指数が互いに打ち消し合うため）：
\ sqrt {x ^ 2y} = x \ sqrt {y}
つまり、別の数を乗算する部首の下に完全な平方がある場合、「それを引き出し」、残っているものの係数として使用できます。 たとえば、50の平方根に戻ります
\ sqrt {50} = \ sqrt {（25）（2）} = 5 \ sqrt {2}
分数として表される平方根を含む数になってしまうことがありますが、分母、分子、またはその両方に部首が含まれているため、それでも無理数です。 そのような場合、分母を合理化するように求められることがあります。 たとえば、番号
\ frac {6 \ sqrt {5}} {\ sqrt {45}}
分子と分母の両方に部首があります。 しかし、「45」を精査すると、9と5の積であることがわかります。つまり、
\ sqrt {45} = \ sqrt {（9）（5）} = 3 \ sqrt {5}
したがって、分数を書くことができます
\ frac {6 \ sqrt {5}} {3 \ sqrt {5}}
部首は互いに打ち消し合い、6/3 = 2のままになります。