多項式を含む代数方程式の解法を開始すると、特別で簡単に因数分解された形式の多項式を認識する機能が非常に役立ちます。 見つけるのに最も役立つ「簡単な因数分解」多項式の1つは、完全な二乗、または二項式を二乗した結果の三項式です。 完全な正方形を特定したら、それを個々のコンポーネントに組み込むことが、問題解決プロセスの重要な部分になることがよくあります。
完全な二乗三項式を因数分解する前に、それを認識することを学ぶ必要があります。 完全な正方形は、2つの形式のいずれかを取ることができます
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {、これは}（a + b）（a + b）=（a + b）^ 2 \\ a ^ 2-2ab + b ^ 2 \ textの積です {、これは}（a --b）（a --b）=（a --b）^ 2の積です
三項式の第1項と第3項を確認してください。 それらは両方とも正方形ですか？ はいの場合、それらが何の正方形であるかを理解します。 たとえば、上記の2番目の「実世界」の例では次のようになります。
y ^ 2-2y + 1
用語y2 明らかにの正方形ですy。用語1は、おそらくそれほど明白ではありませんが、1の2乗です。2 = 1.
第1項と第3項の根を掛け合わせます。 例を続けると、それはyと1、それはあなたにy × 1 = 1yまたは単にy.
次に、製品に2を掛けます。 例を続けると、2つありますy。
最後に、最後のステップの結果を多項式の中間項と比較します。 それらは一致しますか？ 多項式でy2 – 2y+ 1、彼らはそうします。 （記号は関係ありません。 中期が+2だったらマッチだろうy.)
ステップ1の答えは「はい」であり、ステップ2の結果は多項式の中間項と一致するため、完全な平方三項式を見ていることがわかります。
完全な二乗三項式を見ていることがわかったら、それを因数分解するプロセスは非常に簡単です。
三項式の第1項と第3項で、根、または2乗されている数を特定します。 すでに知っている別の三項式の例が完全な平方であると考えてください。
x ^ 2 + 8x + 16
明らかに、最初の項で二乗される数はバツ. 4であるため、第3項で2乗される数は4です。2 = 16.
完全な二乗三項式の公式を思い出してください。 あなたはあなたの要因がどちらかの形を取ることを知っています（
a + b)(a + b）またはフォーム（a – b)(a – b）、 どこaそしてbは、第1項と第3項で二乗されている数値です。 したがって、今のところ各用語の途中の記号を省略して、このように因子を書き出すことができます。（\、？ \、b）（a \、？ \、b）= a ^ 2 \、？\、2ab + b ^ 2
現在の三項式の根を代入して例を続けるには、次のようにします。
（x \、？\、4）（x \、？\、4）= x ^ 2 + 8x + 16
三項式の中項を確認してください。 正の符号または負の符号がありますか（または、言い換えると、加算または減算されていますか）？ 正の符号がある（または追加されている）場合、三項式の両方の因子の中央にプラス記号があります。 負の符号がある場合（または減算されている場合）、両方の要素の中央に負の符号があります。
現在の三項式の例の中項は8です。バツ–それは正です–これで、完全な二乗三項式を因数分解しました。
（x + 4）（x + 4）= x ^ 2 + 8x + 16
2つの要素を掛け合わせて作業を確認してください。 FOILまたは最初、外側、内側、最後の方法を適用すると、次のようになります。
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
これを単純化すると結果が得られますバツ2 + 8バツ+ 16、これは三項式に一致します。 したがって、要因は正しいです。