3次元空間の平面の方程式は、代数表記でax + by + cz = dと書くことができます。ここで、少なくとも1つは 実数定数「a」、「b」、「c」はゼロであってはならず、「x」、「y」、「z」は3次元の軸を表します。 飛行機。 3つの点が指定されている場合、ベクトル外積を使用して平面を決定できます。 ベクトルは空間内の線です。 外積は、2つのベクトルの乗算です。
平面上の3つのポイントを取得します。 それらに「A」、「B」、「C」のラベルを付けます。 たとえば、これらの点がA =（3、1、1）であると仮定します。 B =（1、4、2）; およびC =（1、3、4）。
平面上で2つの異なるベクトルを見つけます。 この例では、ベクトルABとACを選択します。 ベクトルABはポイントAからポイントBに移動し、ベクトルACはポイントAからポイントCに移動します。 したがって、点Bの各座標から点Aの各座標を減算して、ベクトルABを取得します：（-2、3、1）。 同様に、ベクトルACはポイントCからポイントAを引いたもの、つまり（-2、2、3）です。
2つのベクトルの外積を計算して、2つのベクトルのそれぞれと平面に垂直（または垂直または直交）な新しいベクトルを取得します。 2つのベクトル（a1、a2、a3）と（b1、b2、b3）の外積は、N = i（a2b3-a3b2）+ j（a3b1-a1b3）+ k（a1b2-a2b1）で与えられます。 この例では、ABとACの外積Nはi [（3 x 3）-（1 x 2）] + j [（1 x -2）-（-2 x 3）] + k [（ -2 x 2）-（3x-2）]、これはN = 7i + 4j + 2kに簡略化されます。 「i」、「j」、「k」はベクトル座標を表すために使用されることに注意してください。
平面の方程式を導き出します。 平面の方程式は、Ni（x --a1）+ Nj（y --a2）+ Nk（z --a3）= 0です。ここで、（a1、a2、a3）は平面内の任意の点であり、（Ni、Nj、Nk ）は法線ベクトルNです。 この例では、（1、3、4）である点Cを使用すると、平面の方程式は7（x-1）+ 4（y-3）+ 2（z-4）= 0となり、次のように簡略化されます。 7x-7 + 4y-12 + 2z-8 = 0、または7x + 4y + 2z = 27。
答えを確認してください。 元の点を代入して、それらが平面の方程式を満たしているかどうかを確認します。 例を締めくくるには、3つの点のいずれかを代入すると、平面の方程式が実際に満たされていることがわかります。
チップ
平面の方程式を見つけるために3つの連立方程式のシステムを使用する方法のヒントについては、「参考文献」を参照してください。