数学では、関数は、ドメインと呼ばれる1つのセット内のすべての要素を、範囲と呼ばれる別のセット内の1つの要素に正確に関連付けるルールです。 にバツ-y軸、ドメインは上に表されますバツ-軸（横軸）と上のドメインy-軸（縦軸）。 ドメイン内の1つの要素を範囲内の複数の要素に関連付けるルールは関数ではありません。 この要件は、関数をグラフ化する場合、グラフと交差する垂直線を複数の場所で見つけることができないことを意味します。
TL; DR（長すぎる; 読んでいない）
リレーションは、ドメイン内の各要素を範囲内の1つの要素のみに関連付ける場合にのみ関数です。 関数をグラフ化すると、垂直線が1点でのみ関数と交差します。
数学的表現
数学者は通常、関数を「」という文字で表します。f(バツ）、 "他の文字も同様に機能しますが。 あなたは手紙を「fのバツ。 "関数を次のように表すことを選択した場合g(y）、あなたはそれを「gのy。 "関数の方程式は、入力値の規則を定義しますバツ別の数に変換されます。 これを行う方法は無数にあります。 次に3つの例を示します。
f（x）= 2x \\ \、\\ g（y）= y ^ 2 + 2y + 1 \\ \、\\ p（m）= \ frac {1} {\ sqrt {m-3}}
ドメインの決定
関数が「機能する」番号のセットはドメインです。 これはすべての数字にすることも、特定の数字のセットにすることもできます。 ドメインは、機能が機能しない1つまたは2つを除くすべての番号にすることもできます。 たとえば、関数の定義域
f（x）= \ frac {1} {2-x}
2を入力すると、分母が0になり、結果が未定義になるため、は2を除くすべての数値です。 のドメイン
\ frac {1} {4-x ^ 2}
一方、+ 2と-2を除くすべての数値は、これらの数値の2乗が4であるためです。
グラフを見ることで、関数の定義域を特定することもできます。 左端から右に向かって、垂直線を引きます。バツ-軸。 ドメインはのすべての値ですバツ線がグラフと交差するもの。
関係が機能ではないのはいつですか？
定義上、関数はドメイン内の各要素を範囲内の1つの要素のみに関連付けます。 これは、あなたが描く各垂直線がバツ-軸は1点でのみ関数と交差できます。 これは、x項のみが指数に累乗されるすべての一次方程式および高次方程式で機能します。 両方が
バツそしてy用語は累乗されます。 例えば、バツ2 + y2 = a2 円を定義します。 垂直線は複数の点で円と交差する可能性があるため、この方程式は関数ではありません。一般的に、関係f(バツ) = yの各値について、次の場合にのみ関数です。バツプラグを差し込むと、1つの値しか得られませんy. 特定の関係が関数であるかどうかを判断する唯一の方法は、xのさまざまな値を試して、それらが次の一意の値を生成するかどうかを確認することです。y.
例：次の方程式は関数を定義していますか？
y = 2x +1
これは、傾きが2の直線の方程式です。y-インターセプト1、つまりIS機能。
y ^ 2 = x + 1
しましょうバツ= 3. その場合、yの値は±2になる可能性があるため、これはではありません機能。
y ^ 3 = x ^ 2
設定した値に関係なくバツ、次の値を1つだけ取得しますy、 したがって、このIS機能。
y ^ 2 = x ^ 2
なぜならy = ±√バツ2、 このではありません機能。