代数はしばしば式を単純化することを含みます、しかしいくつかの式は他のものより扱うのがより混乱します。 複素数には、私、プロパティを持つ「虚数」私= √−1. 複素数を含む式を単純にする必要がある場合、それは気が遠くなるように思えるかもしれませんが、基本的なルールを学べば、それは非常に簡単なプロセスです。
TL; DR（長すぎる; 読んでいない）
複素数の代数の規則に従うことにより、複素数を単純化します。
複素数とは何ですか？
複素数は、私項。マイナス1の平方根です。 基本レベルの数学では、負の数の平方根は実際には存在しませんが、代数の問題に現れることがあります。 複素数の一般的な形式は、その構造を示しています。
z = a + bi
どこz複素数にラベルを付け、a任意の数（「実数」部分と呼ばれる）を表し、b別の数（「虚数」部分と呼ばれる）を表し、どちらも正または負の場合があります。 したがって、複素数の例は次のとおりです。
z = 2 −4i
負の数のすべての平方根は、の倍数で表すことができるため私、これはすべての複素数の形式です。 技術的には、ハミング数は複素数の特殊なケースを表すだけです。b= 0なので、すべての数値は複雑であると見なすことができます。
複素数の代数の基本規則
複素数を加算および減算するには、実数部と虚数部を別々に加算または減算するだけです。 したがって、複素数の場合z = 2 – 4私そしてw = 3 + 5私、合計は次のとおりです。
\ begin {aligned} z + w＆=（2-4i）+（3 + 5i）\\＆=（2 + 3）+（-4 + 5）i \\＆= 5 + 1i \\＆= 5 + i \ end {aligned}
数値の減算は同じように機能します。
\ begin {aligned} z- w＆=（2-4i）-（3 + 5i）\\＆=（2-3）+（-4-5）i \\＆= -1 -9i \ end {aligned }
乗算は、複素数を使用するもう1つの単純な演算です。これは、通常の乗算と同じように機能することを覚えておく必要があるためです。私2 = −1. したがって、3を計算するには私 × −4私:
3i×-4i = -12i ^ 2
しかしそれ以来私2= -1、次に：
-12i ^ 2 = -12×-1 = 12
完全な複素数を使用（
z = 2 – 4私そしてw = 3 + 5私繰り返しますが）、（のような通常の数を使用するのと同じ方法でそれらを乗算しますa + b) (c + d）、「最初、内側、外側、最後」（FOIL）メソッドを使用して、（a + b) (c + d) = 交流 + 紀元前 + 広告 + bd. 覚えておく必要があるのは、私2. したがって、たとえば：\ begin {aligned} z×w＆=（2 -4i）（3 + 5i）\\＆=（2×3）+（-4i×3）+（2×5i）+（− 4i×5i）\ \＆= 6 -12i + 10i-20i ^ 2 \\＆= 6 -2i + 20 \\＆= 26 + 2i \ end {aligned}
複素数の除算
複素数の除算には、分数の分子と分母に分母の複素共役を掛けることが含まれます。 複素共役とは、虚数部の符号が逆になっている複素数のバージョンを意味します。 だからz = 2 – 4私、複素共役z = 2 + 4私、およびw = 3 + 5私, w = 3 −5私. 問題の場合：
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
必要な共役はw*. 分子と分母をこれで割ると、次のようになります。
\ frac {z} {w} = \ frac {（2 -4i）（3 -5i）} {（3 + 5i）（3-5i）}
そして、前のセクションと同じように作業を進めます。 分子は次のようになります。
\ begin {aligned}（2 -4i）（3 -5i）＆= 6 -12i-10i + 20i ^ 2 \\＆= -14-22i \ end {aligned}
そして分母は与える：
\ begin {aligned}（3 + 5i）（3-5i）＆= 9 + 15i-15i -25i ^ 2 \\＆= 9 + 25 \\＆= 34 \ end {aligned}
これの意味は：
\ begin {aligned} \ frac {z} {w}＆= \ frac {-14-22i} {34} \\ \、\\＆= \ frac {-14} {34}-\ frac {22i} { 34} \\ \、\\＆= \ frac {-7} {17}-\ frac {11i} {17} \ end {aligned}
複素数の単純化
複雑な式を単純化するために、必要に応じて上記のルールを使用してください。 例えば：
z = \ frac {（4 + 2i）+（2 -i）} {（2 + 2i）（2+ i）}
これは、分子の加算規則、分母の乗算規則を使用して、除算を完了することで簡略化できます。 分子の場合：
（4 + 2i）+（2-i）= 6 + i
分母の場合：
\ begin {aligned}（2 + 2i）（2+ i）＆= 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\＆=（4 -2）+ 6i \\＆= 2 + 6i \ end {aligned}
これらを元の場所に戻すと、次のようになります。
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
両方の部分に分母の共役を掛けると、次のようになります。
\ begin {aligned} z＆= \ frac {（6 + i）（2-6i）} {（2 + 6i）（2 -6i）} \\ \、\\＆= \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \、\\＆= \ frac {18-34i} {40} \\ \、\\＆= \ frac {9-17i} {20} \\ \、\\＆= \ frac {9} {20}-\ frac {17i} {20} \\ \ end {aligned}
つまり、これはz次のように簡略化します。
\ begin {aligned} z＆= \ frac {（4 + 2i）+（2-i）} {（2 + 2i）（2+ i）} \\＆= \ frac {9} {20}-\ frac {17i} {20} \\ \ end {aligned}