より高いレベルのすべての代数の学生は、二次方程式を解くことを学ぶ必要があります。 これらは、2の累乗を含むがそれ以上の累乗を含まない多項式の一種であり、一般的な形式は次のとおりです。斧2 + bx + c= 0. 二次方程式の公式を使用するか、因数分解するか、平方を完成させることによって、これらを解決できます。
TL; DR（長すぎる; 読んでいない）
まず、方程式を解くための因数分解を探します。 ない場合はb係数は2で割り切れ、正方形を完成させます。 どちらのアプローチも簡単でない場合は、2次方程式の式を使用してください。
因数分解を使用して方程式を解く
因数分解は、標準の2次方程式の右辺がゼロに等しいという事実を利用します。 つまり、方程式を角かっこで2つの項に分割し、互いに掛け合わせることができれば、各角かっこがゼロになる理由を考えて解を計算できます。 具体的な例を挙げます。
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
これを標準形式と比較してください。
ax ^ 2 + bx + c = 0
例では、a = 1, b= 6およびc= 9. 因数分解の課題は、2つの数値を合計して、bスポットして乗算し、その場所の数を取得しますc.
だから、数字を表すdそしてe、あなたは以下を満たす数を探しています：
d + e = b
またはこの場合、b = 6:
d + e = 6
そして
d×e = c
またはこの場合、c = 9:
d×e = 9
の要因である数を見つけることに焦点を当てるc、次にそれらを合計して、等しいかどうかを確認しますb. 番号を入手したら、次の形式で入力します。
（x + d）（x + e）
上記の例では、両方dそしてe3です：
x ^ 2 + 6x + 9 =（x + 3）（x + 3）= 0
角かっこを掛けると、元の式になります。これは、因数分解を確認するための良い方法です。 このプロセスを実行して（ブラケットの最初、内側、外側、最後の部分を順番に乗算します。詳細については、「参考文献」を参照してください）、逆に表示できます。
\ begin {aligned}（x + 3）（x + 3）＆=（x×x）+（3×x）+（x×3）+（3×3）\\＆= x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\＆= x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {aligned}
因数分解はこのプロセスを逆に効果的に実行しますが、 二次方程式を因数分解する正しい方法であり、この方法は、このためのすべての二次方程式に理想的ではありません。 理由。 多くの場合、因数分解を推測してからチェックする必要があります。
問題は、括弧内の式のいずれかが、の値の選択によってゼロに等しくなるようにすることです。バツ. いずれかのブラケットがゼロに等しい場合、方程式全体がゼロに等しくなり、解決策が見つかります。 最終段階を見てください[（バツ + 3) (バツ+ 3）= 0]で、ブラケットがゼロになるのは次の場合のみであることがわかります。バツ= −3. ただし、ほとんどの場合、2次方程式には2つの解があります。
因数分解はさらに困難ですaは1に等しくありませんが、最初は単純なケースに焦点を当てた方がよいでしょう。
方程式を解くために平方を完成させる
平方を完成させると、簡単に因数分解できない二次方程式を解くのに役立ちます。 この方法は、どの2次方程式でも機能しますが、一部の方程式は他の方程式よりも適しています。 このアプローチでは、式を完全な正方形にし、それを解決します。 一般的な完全な正方形は次のように展開されます。
（x + d）^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
平方を完成させて二次方程式を解くには、式を上記の右側の形式にします。 最初に数を割りますb2で配置し、結果を2乗します。 したがって、方程式の場合：
x ^ 2 + 8x = 0
係数b= 8なので、b÷2 = 4および（b ÷ 2)2 = 16.
これを両側に追加して、以下を取得します。
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
この形式は、完全な正方形の形式と一致することに注意してください。d= 4、つまり2d= 8およびd2 = 16. この意味は：
x ^ 2 + 8x + 16 =（x + 4）^ 2
これを前の方程式に挿入して、次の式を取得します。
（x + 4）^ 2 = 16
ここで方程式を解きますバツ. 両側の平方根を取り、以下を取得します。
x + 4 = \ sqrt {16}
両側から4を引くと、次のようになります。
x = \ sqrt {16} -4
根は正または負の場合があり、負の根を取ると次のようになります。
x = -4-4 = -8
正の根を持つ他の解決策を見つけます：
x = 4-4 = 0
したがって、ゼロ以外の唯一の解は-8です。 これを元の式で確認して確認してください。
二次方程式を使用して方程式を解く
二次方程式の式は他の方法よりも複雑に見えますが、最も信頼性の高い方法であり、任意の二次方程式で使用できます。 この方程式は、標準の2次方程式の記号を使用しています。
ax ^ 2 + bx + c = 0
そして、次のように述べています。
x = \ frac {-b±\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}
適切な数値をその場所に挿入し、数式を調べて解きます。平方根の項の減算と加算の両方を試して、両方の答えをメモすることを忘れないでください。 次の例の場合：
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
あなたが持っているa = 1, b= 6およびc= 5. したがって、式は次のようになります。
\ begin {aligned} x＆= \ frac {-6±\ sqrt {6 ^ 2-4×1×5}} {2×1} \\＆= \ frac {-6±\ sqrt {36-20} } {2} \\＆= \ frac {-6±\ sqrt {16}} {2} \\＆= \ frac {-6±4} {2} \ end {aligned}
正の符号を取ると、次のようになります。
\ begin {aligned} x＆= \ frac {-6 + 4} {2} \\＆= \ frac {-2} {2} \\＆= -1 \ end {aligned}
そして、負の符号を取ると、次のようになります。
\ begin {aligned} x＆= \ frac {-6-4} {2} \\＆= \ frac {-10} {2} \\＆= -5 \ end {aligned}
方程式の2つの解はどちらですか。
二次方程式を解くための最良の方法を決定する方法
他のことを試す前に、因数分解を探してください。 1つを見つけることができれば、これは2次方程式を解くための最も速くて簡単な方法です。 合計すると2つの数値を探していることを忘れないでくださいb係数と乗算して、c係数。 この方程式の場合：
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
2 + 3 = 5および2×3 = 6であることがわかります。したがって、次のようになります。
x ^ 2 + 5x + 6 =（x + 2）（x + 3）= 0
そしてバツ= −2またはバツ = −3.
因数分解が表示されない場合は、b係数は、分数に頼らずに2で割り切れます。 もしそうなら、正方形を完成させることはおそらく方程式を解く最も簡単な方法です。
どちらのアプローチも適切でないと思われる場合は、式を使用してください。 これは最も難しいアプローチのように思えますが、試験中またはその他の時間に追われている場合は、プロセスのストレスを大幅に軽減し、はるかに高速にすることができます。