正方行列を掛けると、ベクトルの倍数が返されるゼロ以外のベクトルを見つける必要がある場合があります。 この非ゼロベクトルは「固有ベクトル」と呼ばれます。 固有ベクトルは、数学者だけでなく、物理学や工学などの専門家にとっても興味深いものです。 それらを計算するには、行列代数と行列式を理解する必要があります。
「固有ベクトル」の定義を学び、理解します。 これは、n xnの正方行列Aと 「ラムダ」と呼ばれるスカラー固有値。 ラムダはギリシャ文字で表されますが、ここでは省略します。 L。 Ax = Lxである非ゼロのベクトルxがある場合、このベクトルxは「Aの固有値」と呼ばれます。
特性方程式det（A --LI）= 0を使用して、行列の固有値を見つけます。 「Det」は行列式を表し、「I」は単位行列です。
特性方程式の零空間である固有空間E（L）を見つけることにより、各固有値の固有ベクトルを計算します。 E（L）の非ゼロベクトルは、Aの固有ベクトルです。 これらは、固有ベクトルを標数行列に接続し直し、A --LI = 0の基底を見つけることによって見つけられます。
特性方程式を使用して固有値を計算します。 Det（A --LI）は（3 --L）（3 --L）-1 = L ^ 2--6L + 8 = 0であり、これは特性多項式です。 これを代数的に解くと、行列の固有値であるL1 = 4とL2 = 2が得られます。
零空間を計算して、L = 4の固有ベクトルを見つけます。 これを行うには、L1 = 4を標数行列に配置し、A-4I = 0の基底を見つけます。 これを解くと、x-y = 0、またはx = yが見つかります。 x = y = 1のように等しいため、これには1つの独立した解しかありません。 したがって、v1 =（1,1）は、L1 = 4の固有空間にまたがる固有ベクトルです。
手順6を繰り返して、L2 = 2の固有ベクトルを見つけます。 x + y = 0、またはx =-yが見つかります。 これには、x = -1およびy = 1などの1つの独立したソリューションもあります。 したがって、v2 =（-1,1）は、L2 = 2の固有空間にまたがる固有ベクトルです。