別の与えられたベクトルに垂直なベクトルを構築するには、ベクトルの内積と外積に基づく手法を使用できます。 ベクトルA =（a1、a2、a3）とB =（b1、b2、b3）の内積は、対応するコンポーネントの積の合計に等しくなります：A∙B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3。 2つのベクトルが垂直である場合、それらの内積はゼロに等しくなります。 2つのベクトルの外積は、A×B =（a2_b3-a3_b2、a3_b1-a1_b3、a1_b2-a2 * b1）と定義されます。 2つの非平行ベクトルの外積は、両方に垂直なベクトルです。
架空の未知のベクトルV =（v1、v2）を書き留めます。
このベクトルと指定されたベクトルの内積を計算します。 U =（-3,10）が与えられた場合、内積はV∙U = -3 v1 + 10v2になります。
内積を0に設定し、一方の未知のコンポーネントをもう一方のコンポーネントに関して解きます：v2 =（3/10）v1。
v1の任意の値を選択します。 たとえば、v1 = 1とします。
v2を解きます：v2 = 0.3。 ベクトルV =（1,0.3）はU =（-3,10）に垂直です。 v1 = -1を選択した場合、最初の解の反対方向を指すベクトルV ’=（-1、-0.3）が得られます。 これらは、指定されたベクトルに垂直な2次元平面内の2つの方向のみです。 新しいベクトルを任意の大きさにスケーリングできます。 たとえば、大きさが1の単位ベクトルにするには、W = V /（vの大きさ）= V /（sqrt（10）=（1 / sqrt（10）、0.3 / sqrt（10））を作成します。
指定されたベクトルに平行でない任意のベクトルを選択します。 ベクトルYがベクトルXに平行である場合、ゼロ以外の定数aに対してY = a * Xです。 簡単にするために、X =（1、0、0）などの単位基底ベクトルの1つを使用します。
U =（10、4、-1）：W = X×U =（0、1、4）を使用して、XとUの外積を計算します。
WがUに垂直であることを確認します。 W∙U = 0 + 4-4 = 0。 Y =（0、1、0）またはZ =（0、0、1）を使用すると、異なる垂直ベクトルが得られます。 それらはすべて、方程式10 v1 + 4 v2-v3 = 0で定義される平面にあります。