สมการของระนาบในพื้นที่สามมิติสามารถเขียนด้วยสัญกรณ์พีชคณิตเป็น ax + by + cz = d โดยที่อย่างน้อยหนึ่ง ค่าคงที่จำนวนจริง "a," "b" และ "c" ต้องไม่เป็นศูนย์ และ "x", "y" และ "z" แทนแกนของสามมิติ เครื่องบิน. หากให้สามจุด คุณสามารถกำหนดระนาบโดยใช้ผลคูณของเวกเตอร์ เวกเตอร์เป็นเส้นในช่องว่าง ผลคูณคือการคูณของเวกเตอร์สองตัว
รับสามแต้มบนเครื่องบิน ติดป้ายกำกับว่า "A" "B" และ "C" ตัวอย่างเช่น สมมติว่าจุดเหล่านี้คือ A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); และ C = (1, 3, 4)
ค้นหาเวกเตอร์ที่แตกต่างกันสองตัวบนเครื่องบิน ในตัวอย่าง เลือกเวกเตอร์ AB และ AC เวกเตอร์ AB เปลี่ยนจากจุด-A ไปยังจุด-B และเวกเตอร์ AC เปลี่ยนจากจุด-A ไปยังจุด-C ดังนั้นลบแต่ละพิกัดในจุด-A ออกจากแต่ละพิกัดในจุด-B เพื่อให้ได้เวกเตอร์ AB: (-2, 3, 1) ในทำนองเดียวกัน เวกเตอร์ AC คือจุด-C ลบจุด-A หรือ (-2, 2, 3)
คำนวณผลคูณของเวกเตอร์ทั้งสองเพื่อให้ได้เวกเตอร์ใหม่ ซึ่งเป็นเรื่องปกติ (หรือตั้งฉากหรือมุมฉาก) กับเวกเตอร์ทั้งสองแต่ละตัวและรวมถึงระนาบด้วย ผลคูณของเวกเตอร์สองตัว (a1, a2, a3) และ (b1, b2, b3) ถูกกำหนดโดย N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1) ในตัวอย่าง ผลคูณ N ของ AB และ AC คือ i[(3 x 3) - (1 x 2)] + j[(1 x -2) - (-2 x 3)] + k[( -2 x 2) - (3x - 2)] ซึ่งลดความซับซ้อนเป็น N = 7i + 4j + 2k โปรดทราบว่า "i" "j" และ "k" ใช้แทนพิกัดเวกเตอร์
หาสมการของระนาบ สมการของระนาบคือ Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0 โดยที่ (a1, a2, a3) คือจุดใดๆ ในระนาบ และ (Ni, Nj, Nk ) เป็นเวกเตอร์ปกติ N ในตัวอย่าง ใช้จุด C ซึ่งก็คือ (1, 3, 4) สมการของระนาบคือ 7(x - 1) + 4(y - 3) + 2(z - 4) = 0 ซึ่งลดความซับซ้อนของ 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 หรือ 7x + 4y + 2z = 27
ตรวจสอบคำตอบของคุณ แทนที่จุดเดิมเพื่อดูว่าเป็นไปตามสมการของระนาบหรือไม่ เพื่อสรุปตัวอย่าง หากคุณแทนที่จุดใดจุดหนึ่งจากสามจุด คุณจะเห็นว่าสมการของระนาบเป็นที่พอใจอย่างแท้จริง
เคล็ดลับ
ดูแหล่งข้อมูลสำหรับเคล็ดลับเกี่ยวกับวิธีใช้ระบบสมการสามสมการพร้อมกันเพื่อค้นหาสมการของระนาบ