วิธีหาสมการเลขชี้กำลังด้วยจุดสองจุด

หากคุณทราบจุดสองจุดที่อยู่บนเส้นโค้งเลขชี้กำลังใดเส้นหนึ่ง คุณสามารถกำหนดเส้นโค้งได้โดยการแก้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั่วไปโดยใช้จุดเหล่านั้น ในทางปฏิบัติ หมายถึงการแทนที่จุดสำหรับ y และ x ในสมการ y = ab^x. ขั้นตอนจะง่ายกว่าถ้าค่า x สำหรับจุดใดจุดหนึ่งเป็น 0 ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่บนแกน y หากไม่มีจุดใดที่มีค่า x เป็นศูนย์ กระบวนการในการแก้หา x และ y จะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย

ระบบที่สำคัญหลายระบบเป็นไปตามรูปแบบเลขชี้กำลังของการเติบโตและการเสื่อมสลาย ตัวอย่างเช่น จำนวนแบคทีเรียในอาณานิคมมักจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ และการแผ่รังสีโดยรอบในบรรยากาศหลังเหตุการณ์นิวเคลียร์มักจะลดลงแบบทวีคูณ นักวิทยาศาสตร์สามารถคาดการณ์ข้อมูลและวาดกราฟเส้นโค้งได้ดีกว่า

จุดใดๆ บนกราฟสองมิติสามารถแสดงด้วยตัวเลขสองตัว ซึ่งมักจะเขียนด้วยตัว in รูปแบบ (x, y) โดยที่ x กำหนดระยะทางแนวนอนจากจุดเริ่มต้นและ y หมายถึงแนวตั้ง ระยะทาง. ตัวอย่างเช่น จุด (2, 3) คือสองหน่วยทางด้านขวาของแกน y และสามหน่วยเหนือแกน x ในทางกลับกัน จุด (-2, -3) คือสองหน่วยทางด้านซ้ายของแกน y และสามหน่วยใต้แกน x

หากคุณมีสองจุด (x₁, y₁) และ (x₂, y₂) คุณสามารถกำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ผ่านจุดเหล่านี้โดยแทนค่าในสมการ y = ab^x และแก้หา a และ b โดยทั่วไป คุณต้องแก้สมการคู่นี้:

y₁ = อับ^x1 และ y₂ = อับ^x2, .

ในรูปแบบนี้ คณิตศาสตร์ดูซับซ้อนเล็กน้อย แต่จะดูน้อยลงหลังจากที่คุณทำตัวอย่างบางส่วนแล้ว

ถ้ามีค่า x ตัวใดตัวหนึ่ง -- พูดว่า x₁ -- คือ 0 การดำเนินการจะง่ายมาก ตัวอย่างเช่น การแก้สมการสำหรับจุด (0, 2) และ (2, 4) ให้ผลลัพธ์:

2 = อับ⁰ และ 4 = ab². เนื่องจากเรารู้ว่าb⁰ = 1 สมการแรกกลายเป็น 2 = a การแทนที่ a ในสมการที่สองจะได้ 4 = 2b²ซึ่งเราลดความซับซ้อนของ b² = 2 หรือ b = สแควร์รูทของ 2 ซึ่งเท่ากับประมาณ 1.41 ฟังก์ชันที่กำหนดคือแล้ว y = 2 (1.41)^x.

ถ้าค่า x ไม่เป็นศูนย์ การแก้สมการจะยุ่งยากกว่าเล็กน้อย Henochmath นำเราผ่านตัวอย่างง่าย ๆ เพื่อชี้แจงขั้นตอนนี้ ในตัวอย่างของเขา เขาเลือกคู่ของคะแนน (2, 3) และ (4, 27) ให้ผลสมการคู่ต่อไปนี้:

27 = อับ⁴

3 = อับ²

ถ้าคุณหารสมการแรกด้วยสมการที่สอง คุณจะได้

9 = ข²

ดังนั้น b = 3 เป็นไปได้ที่ b จะเท่ากับ -3 ด้วย แต่ในกรณีนี้ ให้ถือว่ามันเป็นบวก

คุณสามารถแทนที่ค่านี้สำหรับ b ในสมการใดก็ได้เพื่อให้ได้ a ใช้สมการที่สองง่ายกว่า ดังนั้น:

3 = ก (3)² ซึ่งลดความซับซ้อนลงได้เป็น 3 = a9, a = 3/9 หรือ 1/3

สมการที่ผ่านจุดเหล่านี้สามารถเขียนเป็น y = 1/3(3)^x.

ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2453 การเติบโตของประชากรมนุษย์เป็นแบบทวีคูณ และด้วยการวางแผนเส้นโค้งการเติบโต นักวิทยาศาสตร์อยู่ในตำแหน่งที่ดีกว่าในการทำนายและวางแผนสำหรับอนาคต ในปี 1910 ประชากรโลกอยู่ที่ 1.75 พันล้าน และในปี 2010 มี 6.87 พันล้านคน โดยเอาปี 1910 เป็นจุดเริ่มต้น ทำให้ได้แต้มคู่ (0, 1.75) และ (100, 6.87) เนื่องจากค่า x ของจุดแรกเป็นศูนย์ เราจึงสามารถหา a ได้ง่าย

1.75 = อับ⁰ หรือ a = 1.75 นำค่านี้ไปรวมกับจุดที่สองในสมการเลขชี้กำลังทั่วไปจะได้ 6.87 = 1.75b¹⁰⁰ซึ่งให้ค่า b เป็นรากที่ร้อยของ 6.87/1.75 หรือ 3.93 สมการจึงกลายเป็น y = 1.75 (ร้อยรูทของ 3.93)^x. แม้ว่าจะใช้เวลามากกว่ากฎสไลด์ แต่นักวิทยาศาสตร์สามารถใช้สมการนี้เพื่อคาดการณ์จำนวนประชากรในอนาคต เพื่อช่วยนักการเมืองในปัจจุบันในการสร้างนโยบายที่เหมาะสม