ในวิชาคณิตศาสตร์ ความต้องการบางครั้งเกิดขึ้นเพื่อพิสูจน์ว่าหน้าที่ขึ้นอยู่กับหรือเป็นอิสระจากกันในความหมายเชิงเส้นตรงหรือไม่ หากคุณมีฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่ขึ้นกับเส้นตรง การสร้างกราฟสมการของฟังก์ชันเหล่านั้นจะส่งผลให้เกิดจุดที่ทับซ้อนกัน ฟังก์ชันที่มีสมการอิสระไม่ทับซ้อนกันเมื่อสร้างกราฟ วิธีหนึ่งในการพิจารณาว่าฟังก์ชันขึ้นอยู่กับหรือเป็นอิสระจากการคำนวณ Wronskian สำหรับฟังก์ชัน
Wronskian คืออะไร?
วรอนสเกียนของฟังก์ชันตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไปคือสิ่งที่เรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันพิเศษที่ใช้เปรียบเทียบออบเจกต์ทางคณิตศาสตร์และพิสูจน์ข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับพวกมัน ในกรณีของ Wronskian ดีเทอร์มีแนนต์ใช้เพื่อพิสูจน์การพึ่งพาหรือความเป็นอิสระระหว่างฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชันหรือมากกว่า
The Wronskian Matrix
ในการคำนวณ Wronskian สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น ต้องแก้ไขฟังก์ชันด้วยค่าเดียวกันภายในเมทริกซ์ที่มีทั้งฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว ตัวอย่างของสิ่งนี้คือ
W(f, g)(t)=\begin{vmatrix} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatrix}
ซึ่งให้ Wronskian สำหรับสองหน้าที่ (ฉและg) ที่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าเดียวที่มากกว่าศูนย์ (
การแก้ปัญหา Wronskian
เมื่อคุณจัดฟังก์ชันในเมทริกซ์แล้ว ให้คูณแต่ละฟังก์ชันกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น แล้วลบค่าแรกออกจากค่าที่สอง จากตัวอย่างข้างต้น คุณจะได้
W(f, g)(t) = f (t) g'(t) - g (t) f'(t)
ถ้าคำตอบสุดท้ายเท่ากับศูนย์ แสดงว่าทั้งสองฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ ถ้าคำตอบเป็นอย่างอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ฟังก์ชันจะเป็นอิสระ
ตัวอย่าง Wronskian
เพื่อให้คุณมีความคิดที่ดีขึ้นเกี่ยวกับวิธีการทำงาน สมมติว่า assume
f (t) = x + 3 \text{ และ } g (t) = x - 2
โดยใช้ค่าของt= 1 คุณสามารถแก้ฟังก์ชันเป็น
f (1) = 4 \text{ และ } g (1) = -1
เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นพื้นฐานที่มีความชันเท่ากับ 1 อนุพันธ์ของทั้งคู่ฉ(t) และg(t) เท่ากับ 1 คูณค่าของคุณให้
W(f, g)(1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
ซึ่งให้ผลลัพธ์สุดท้ายเท่ากับ 5. แม้ว่าฟังก์ชันเชิงเส้นตรงทั้งสองมีความชันเท่ากัน แต่ก็มีความเป็นอิสระเนื่องจากจุดไม่ทับซ้อนกัน ถ้าฉ(t) ได้ผลลัพธ์เป็น -1 แทนที่จะเป็น 4 Wronskian จะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์แทนเพื่อบ่งบอกถึงการพึ่งพา