เมื่อคุณเริ่มต้นด้วยสามสมการและสามค่าที่ไม่ทราบค่า (ตัวแปร) คุณอาจคิดว่าคุณมีข้อมูลเพียงพอที่จะแก้ตัวแปรทั้งหมด อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีตัดออก คุณอาจพบว่าระบบ ไม่ได้กำหนดไว้เพียงพอที่จะหาคำตอบที่ไม่ซ้ำใคร แต่คำตอบคือ เป็นไปได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อข้อมูลในสมการใดสมการหนึ่งในระบบซ้ำซ้อนกับข้อมูลที่อยู่ในสมการอื่น
ตัวอย่าง 2x2
3x+2y=5 6x+4y=10 ระบบสมการนี้มีความซ้ำซ้อนอย่างชัดเจน คุณสามารถสร้างสมการหนึ่งจากสมการอื่นได้โดยการคูณด้วยค่าคงที่ กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือพวกเขาให้ข้อมูลเดียวกัน แม้จะมีสมการสองสมการสำหรับสองสิ่งที่ไม่รู้คือ x และ y คำตอบของระบบนี้ไม่สามารถจำกัดให้แคบลงเหลือเพียงหนึ่งค่าสำหรับ x และหนึ่งค่าสำหรับ y (x, y)=(1,1) และ (5/3,0) ทั้งคู่แก้ปัญหาได้ เช่นเดียวกับวิธีแก้ปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย นี่คือ "ปัญหา" แบบใดแบบหนึ่ง ความไม่เพียงพอของข้อมูล ซึ่งนำไปสู่คำตอบจำนวนอนันต์ในระบบสมการที่ใหญ่ขึ้นเช่นกัน
ตัวอย่าง 3x3
x+y+z=10 x-y+z=0 x_+_z=5 [ใช้ขีดล่างเพื่อรักษาระยะห่างเท่านั้น] โดยวิธีกำจัด ให้กำจัด x ออกจากแถวที่สองโดยลบแถวที่สองออกจากแถวแรก ให้ x+y+z=10 _2y=10 x_+
z=5 กำจัด x ออกจากแถวที่สามโดยลบแถวที่สามออกจากแถวแรก x+y+z=10 _2y=10 y=5 เห็นได้ชัดว่าสองสมการสุดท้ายเท่ากัน y เท่ากับ 5 และสมการแรกสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยกำจัด y x+5+z=10 y__=5 หรือ x+z=5 y=5 โปรดทราบว่าวิธีการกำจัดจะไม่สร้างรูปทรงสามเหลี่ยมที่ดีที่นี่ เช่นเดียวกับเมื่อมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน สมการสุดท้าย (ถ้าไม่มาก) จะถูกรวมเข้ากับสมการอื่นแทน ขณะนี้ระบบมีสามสิ่งที่ไม่รู้และมีเพียงสองสมการเท่านั้น ระบบนี้เรียกว่า "underdetermined" เนื่องจากมีสมการไม่เพียงพอที่จะกำหนดค่าของตัวแปรทั้งหมด มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดวิธีการเขียนโซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด
โซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับระบบข้างต้นสามารถเขียนได้ในรูปของตัวแปรเดียว วิธีหนึ่งในการเขียนมันคือ (x, y, z)=(x, 5,5-x) เนื่องจาก x สามารถรับค่าได้เป็นจำนวนอนันต์ โซลูชันจึงรับค่าได้เป็นอนันต์