วิธีที่ดีที่สุดในการแยกตัวประกอบพหุนามด้วยเศษส่วนเริ่มต้นด้วยการลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ที่ง่ายกว่า พหุนามเป็นตัวแทนของนิพจน์พีชคณิตที่มีคำศัพท์ตั้งแต่สองคำขึ้นไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมของคำศัพท์หลายคำที่มีนิพจน์ที่แตกต่างกันของตัวแปรเดียวกัน กลยุทธ์ที่ช่วยทำให้พหุนามอย่างง่ายเกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ตามด้วยการจัดกลุ่มสมการเป็นพจน์ที่ต่ำที่สุด เช่นเดียวกับการแก้พหุนามด้วยเศษส่วน
พหุนามที่มีการกำหนดเศษส่วน
คุณมีสามวิธีในการดูวลีพหุนามที่มีเศษส่วน การตีความครั้งแรกกล่าวถึงพหุนามด้วยเศษส่วนสำหรับสัมประสิทธิ์ ในพีชคณิต สัมประสิทธิ์ถูกกำหนดเป็นปริมาณตัวเลขหรือค่าคงที่ที่พบก่อนตัวแปร กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ของ 7_a_, ข และ (1/3)ค คือ 7, 1 และ (1/3) ตามลำดับ สองตัวอย่าง ดังนั้น ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เศษส่วนจะเป็น:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ and } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
การตีความที่สองของ “พหุนามที่มีเศษส่วน” หมายถึงพหุนามที่มีอยู่ในเศษส่วนหรืออัตราส่วน สร้างด้วยตัวเศษและตัวส่วน โดยที่พหุนามตัวเศษหารด้วยตัวส่วน พหุนาม ตัวอย่างเช่น การตีความที่สองนี้แสดงโดย:
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
การตีความที่สามในขณะเดียวกันเกี่ยวข้องกับการสลายตัวของเศษส่วนบางส่วนหรือที่เรียกว่าการขยายเศษส่วนบางส่วน บางครั้งเศษส่วนพหุนามก็ซับซ้อน ดังนั้นเมื่อพวกมัน “สลายตัว” หรือ “แยกย่อย” เป็น คำศัพท์ที่ง่ายกว่า จะแสดงเป็นผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ หรือผลหารของพหุนาม เศษส่วน เพื่อแสดงให้เห็น เศษส่วนพหุนามเชิงซ้อนของ:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
ถูกประเมินโดยการสลายตัวของเศษส่วนบางส่วน ซึ่งบังเอิญ เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบของพหุนามให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
พื้นฐานของแฟคตอริ่ง – คุณสมบัติการกระจายและวิธีการ FOIL
ตัวประกอบแสดงถึงตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณเข้าด้วยกันแล้วเท่ากับจำนวนที่สาม ในสมการพีชคณิต แฟคตอริ่งกำหนดปริมาณสองปริมาณที่ถูกคูณเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้พหุนามที่กำหนด คุณสมบัติการกระจายจะถูกติดตามอย่างมากเมื่อคูณพหุนาม คุณสมบัติการกระจายโดยพื้นฐานแล้วช่วยให้สามารถคูณผลรวมโดยการคูณแต่ละหมายเลขก่อนเพิ่มผลิตภัณฑ์ สังเกตตัวอย่างเช่น การนำคุณสมบัติการแจกจ่ายไปใช้อย่างไรในตัวอย่าง :
7(10x + 5) \text{ เพื่อไปยังทวินามของ } 70x + 35
แต่ถ้าคูณทวินามสองตัวเข้าด้วยกัน เวอร์ชันเพิ่มเติมของคุณสมบัติการแจกจ่ายจะถูกใช้ผ่านวิธี FOIL FOIL แทนคำย่อของคำศัพท์ First, Outer, Inner และ Last ถูกคูณ ดังนั้นพหุนามแฟคตอริ่งจึงใช้วิธีการ FOIL ย้อนหลัง นำตัวอย่างสองตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้นมาใช้กับพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน การดำเนินการวิธี FOIL ย้อนกลับในแต่ละวิธีส่งผลให้เกิดปัจจัยของ
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
สำหรับพหุนามแรกและตัวประกอบของ
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
สำหรับพหุนามที่สอง
ตัวอย่าง:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
ตัวอย่าง:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\bigg)
ขั้นตอนที่ต้องทำเมื่อแยกตัวประกอบเศษส่วนพหุนาม
จากข้างบน เศษส่วนพหุนามเกี่ยวข้องกับพหุนามในตัวเศษหารด้วยพหุนามในตัวส่วน การประเมินเศษส่วนพหุนามจึงจำเป็นต้องแยกตัวประกอบพหุนามตัวเศษก่อน ตามด้วยการแยกตัวประกอบพหุนามตัวส่วน ช่วยในการหาตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดหรือ GCF ระหว่างตัวเศษและตัวส่วน เมื่อพบ GCF ของทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้ว มันจะตัดกัน และสุดท้ายลดสมการทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวย่อ พิจารณาตัวอย่างเศษส่วนพหุนามเดิมข้างต้นของ
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
การแยกตัวประกอบพหุนามตัวเศษและตัวส่วนเพื่อหาผลลัพธ์ GCF ใน:
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
โดย GCF เป็น (x + 2).
GCF ในตัวเศษและตัวส่วนตัดกันเพื่อให้คำตอบสุดท้ายในแง่ต่ำสุดของ (x + 5) ÷ (x + 9).
ตัวอย่าง:
\begin{aligned} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\cancel{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{aligned}
การประเมินสมการผ่านการสลายตัวของเศษส่วนบางส่วน
การสลายตัวของเศษส่วนบางส่วนซึ่งเกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบเป็นวิธีการเขียนสมการเศษส่วนพหุนามที่ซับซ้อนให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า ทบทวนตัวอย่างจากข้างบนของ
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
ลดความซับซ้อนของตัวส่วน
ลดความซับซ้อนของตัวส่วนเพื่อรับ:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
จัดเรียงตัวนับใหม่
ถัดไป จัดเรียงตัวเศษใหม่เพื่อให้เริ่มมี GCF อยู่ในตัวส่วน เพื่อรับ:
\begin{aligned} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{aligned}
สำหรับภาคผนวกด้านซ้าย GCF คือ (x - 1) ในขณะที่ส่วนเสริมที่ถูกต้อง GCF คือ (x + 2) ซึ่งยกเลิกในตัวเศษและส่วนตามที่เห็นใน:
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\cancel{(x - 1)}}{(x + 2)\cancel{(x - 1)}} + \frac{5\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x + 2)}(x - 1) }
ดังนั้น เมื่อ GCFs ยกเลิก คำตอบสุดท้ายอย่างง่ายคือ:
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
เป็นวิธีการแก้ปัญหาการสลายตัวของเศษส่วนบางส่วน