สามวิธีที่ใช้กันมากที่สุดในการแก้ระบบสมการคือการแทนที่ การคัดออก และเมทริกซ์เสริม การแทนที่และการกำจัดเป็นวิธีการง่ายๆ ที่สามารถแก้ระบบสมการสองสมการส่วนใหญ่ได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยขั้นตอนง่ายๆ ไม่กี่ขั้นตอน วิธีการของเมทริกซ์เสริมต้องการขั้นตอนเพิ่มเติม แต่การนำไปใช้ขยายไปสู่ระบบที่หลากหลายมากขึ้น
การแทน
การแทนค่าเป็นวิธีการแก้ระบบสมการโดยเอาตัวแปรทั้งหมดยกเว้นตัวใดตัวหนึ่งออกจากสมการใดสมการหนึ่ง แล้วแก้สมการนั้น ซึ่งทำได้โดยการแยกตัวแปรอื่นในสมการแล้วแทนที่ค่าของตัวแปรเหล่านี้ในสมการอื่น ตัวอย่างเช่น ในการแก้ระบบสมการ x + y = 4, 2x - 3y = 3 ให้แยกตัวแปร x ออกก่อน สมการเพื่อให้ได้ x = 4 - y จากนั้นแทนค่า y นี้ลงในสมการที่สองเพื่อให้ได้ 2(4 - y) - 3y = 3. สมการนี้ลดรูปเป็น -5y = -5 หรือ y = 1 แทนค่านี้ลงในสมการที่สองเพื่อหาค่าของ x: x + 1 = 4 หรือ x = 3
การกำจัด
การขจัดเป็นอีกวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการโดยการเขียนสมการใหม่ในรูปของตัวแปรเพียงตัวเดียว วิธีการกำจัดทำได้โดยการเพิ่มหรือลบสมการออกจากกันเพื่อยกเลิกตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น การเพิ่มสมการ x + 2y = 3 และ 2x - 2y = 3 จะได้สมการใหม่ 3x = 6 (โปรดทราบว่าเทอม y ถูกยกเลิก) จากนั้นระบบจะแก้ไขโดยใช้วิธีการเดียวกับการทดแทน หากไม่สามารถยกเลิกตัวแปรในสมการได้ ก็จำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบเพื่อให้สัมประสิทธิ์ตรงกัน
เมทริกซ์เสริม
เมทริกซ์เสริมสามารถใช้แก้ระบบสมการได้ เมทริกซ์เสริมประกอบด้วยแถวสำหรับแต่ละสมการ คอลัมน์สำหรับตัวแปรแต่ละตัว และคอลัมน์เสริมที่มีเทอมคงที่อยู่อีกด้านหนึ่งของสมการ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เสริมสำหรับระบบสมการ 2x + y = 4, 2x - y = 0 คือ [[2 1], [2 -1]...[4, 0]]
การกำหนดแนวทางแก้ไข
ขั้นตอนต่อไปเกี่ยวข้องกับการใช้การดำเนินการแถวเบื้องต้น เช่น การคูณหรือหารแถวด้วยค่าคงที่อื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ และการบวกหรือลบแถว เป้าหมายของการดำเนินการเหล่านี้คือการแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบระดับแถว โดยรายการแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ในแต่ละแถวคือ 1 รายการ ด้านบนและด้านล่างรายการนี้เป็นศูนย์ทั้งหมด และรายการแรกที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับแต่ละแถวจะอยู่ทางด้านขวาของรายการดังกล่าวทั้งหมดในแถวเสมอ เหนือมัน รูปแบบแถว-ระดับสำหรับเมทริกซ์ข้างต้นคือ [[1 0], [0 1]...[1, 2]] ค่าของตัวแปรแรกถูกกำหนดโดยแถวแรก (1x + 0y = 1 หรือ x = 1) ค่าของตัวแปรที่สองถูกกำหนดโดยแถวที่สอง (0x + 1y = 2 หรือ y = 2)
แอปพลิเคชั่น
การแทนที่และการตัดออกเป็นวิธีที่ง่ายกว่าในการแก้สมการและใช้บ่อยกว่าเมทริกซ์เสริมในพีชคณิตพื้นฐาน วิธีการทดแทนมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งถูกแยกออกมาในสมการใดสมการหนึ่งอยู่แล้ว วิธีการกำจัดจะมีประโยชน์เมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากัน (หรือค่าเท่ากันในเชิงลบ) ในสมการทั้งหมด ข้อได้เปรียบหลักของเมทริกซ์เสริมคือสามารถใช้แก้ระบบสมการตั้งแต่สามสมการขึ้นไปได้ในสถานการณ์ที่การแทนที่และการกำจัดไม่สามารถทำได้หรือเป็นไปไม่ได้