พีชคณิตมักเกี่ยวข้องกับการลดความซับซ้อนของนิพจน์ แต่นิพจน์บางนิพจน์มีความสับสนในการจัดการมากกว่านิพจน์อื่น จำนวนเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับปริมาณที่เรียกว่าผม, ตัวเลข “จินตภาพ” พร้อมคุณสมบัติผม= √−1. หากคุณต้องนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนเพียงอย่างเดียว อาจดูน่ากลัว แต่ก็เป็นกระบวนการที่ค่อนข้างง่ายเมื่อคุณเรียนรู้กฎพื้นฐานแล้ว
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
ลดความซับซ้อนของจำนวนเชิงซ้อนโดยทำตามกฎของพีชคณิตกับจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?
จำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยการรวมของผมเทอม ซึ่งก็คือสแควร์รูทของลบหนึ่ง ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับพื้นฐาน รากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่จริง แต่บางครั้งอาจปรากฏในปัญหาพีชคณิต รูปแบบทั่วไปสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแสดงโครงสร้าง:
z = a + bi
ที่ไหนzติดป้ายจำนวนเชิงซ้อนแทนตัวเลขใดๆ (เรียกว่าส่วน "ของจริง") และขแทนตัวเลขอีกจำนวนหนึ่ง (เรียกว่าส่วน "จินตภาพ") ซึ่งทั้งคู่สามารถเป็นค่าบวกหรือค่าลบได้ ดังนั้นตัวอย่างจำนวนเชิงซ้อนคือ:
z = 2 −4i
เนื่องจากรากที่สองของจำนวนลบทั้งหมดสามารถแทนด้วยตัวคูณของผมนี่คือรูปแบบสำหรับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด ในทางเทคนิค จำนวนปกติจะอธิบายกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อนโดยที่ข= 0 ดังนั้นจำนวนทั้งหมดจึงถือได้ว่าซับซ้อน
กฎพื้นฐานสำหรับพีชคณิตที่มีจำนวนเชิงซ้อน
ในการบวกและลบจำนวนเชิงซ้อน ให้บวกหรือลบส่วนจริงและส่วนจินตภาพแยกกัน ดังนั้นสำหรับจำนวนเชิงซ้อนz = 2 – 4ผมและw = 3 + 5ผมผลรวมคือ:
\begin{aligned} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + ฉัน \สิ้นสุด{จัดตำแหน่ง}
การลบตัวเลขทำงานในลักษณะเดียวกัน:
\begin{aligned} z- w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{aligned }
การคูณเป็นการดำเนินการอย่างง่ายอีกอย่างหนึ่งกับจำนวนเชิงซ้อน เพราะมันทำงานเหมือนกับการคูณธรรมดา ยกเว้นคุณต้องจำไว้ว่า rememberผม2 = −1. ดังนั้นในการคำนวณ 3ผม × −4ผม:
3i × -4i = -12i^2
แต่ตั้งแต่ผม2= -1 ดังนั้น:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
ด้วยจำนวนเชิงซ้อนเต็ม (โดยใช้z = 2 – 4ผมและw = 3 + 5ผมอีกครั้ง) คุณคูณมันด้วยวิธีเดียวกับที่คุณคูณกับตัวเลขธรรมดาเช่น ( + ข) (ค + d) โดยใช้วิธี “แรก ภายใน ภายนอก สุดท้าย” (FOIL) เพื่อให้ ( + ข) (ค + d) = ac + bc + โฆษณา + bd. ทั้งหมดที่คุณต้องจำไว้คือการทำให้ทุกกรณีของ .ง่ายขึ้นผม2. ตัวอย่างเช่น:
\begin{aligned} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \&= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{aligned}
การหารจำนวนเชิงซ้อน
การหารจำนวนเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยคอนจูเกตเชิงซ้อนของตัวส่วน คอนจูเกตเชิงซ้อนหมายถึงเวอร์ชันของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพกลับด้านเป็นเครื่องหมาย ดังนั้นสำหรับz = 2 – 4ผม, คอนจูเกตที่ซับซ้อนz = 2 + 4ผม, และสำหรับw = 3 + 5ผม, w = 3 −5ผม. สำหรับปัญหา:
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
คอนจูเกตที่ต้องการคือw*. แบ่งตัวเศษและส่วนตามนี้เพื่อให้:
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
จากนั้นคุณทำงานผ่านเหมือนในส่วนก่อนหน้า ตัวเศษให้:
\begin{aligned} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{aligned}
และตัวส่วนให้:
\begin{aligned} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i - 15i -25i^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34 \end{aligned}
ซึ่งหมายความว่า:
\begin{aligned} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{aligned}
ลดความซับซ้อนของตัวเลขที่ซับซ้อน
ใช้กฎด้านบนตามความจำเป็นเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
สิ่งนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้กฎการบวกในตัวเศษ กฎการคูณในตัวส่วน แล้วทำการหารให้สมบูรณ์ สำหรับตัวเศษ:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
สำหรับตัวส่วน:
\begin{aligned} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{aligned}
การนำสิ่งเหล่านี้กลับเข้าที่จะช่วยให้:
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
การคูณทั้งสองส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วนนำไปสู่:
\begin{aligned} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ frac{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \end{จัดตำแหน่ง}
นี่หมายความว่าzลดความซับซ้อนดังนี้:
\begin{aligned} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \end{จัดตำแหน่ง}