นักเรียนพีชคณิตทุกคนในระดับที่สูงขึ้นจำเป็นต้องเรียนรู้การแก้สมการกำลังสอง สมการพหุนามเหล่านี้เป็นสมการพหุนามชนิดหนึ่งที่มีกำลัง 2 แต่ไม่มีค่าที่สูงกว่า และมีรูปแบบทั่วไป:ขวาน2 + bx + ค= 0. คุณสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้โดยใช้สูตรสมการกำลังสอง โดยการแยกตัวประกอบหรือโดยการเติมกำลังสองให้สมบูรณ์
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
ขั้นแรกให้มองหาการแยกตัวประกอบเพื่อแก้สมการ หากไม่มีสิ่งใดนอกจากขสัมประสิทธิ์หารด้วย 2 ลงตัว. ถ้าทั้งสองวิธีไม่ง่าย ให้ใช้สูตรสมการกำลังสอง
การใช้การแยกตัวประกอบในการแก้สมการ
การแยกตัวประกอบใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านขวามือของสมการกำลังสองมาตรฐานเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าถ้าคุณสามารถแยกสมการออกเป็นสองพจน์ในวงเล็บคูณกัน คุณสามารถหาคำตอบได้โดยคิดว่าอะไรจะทำให้วงเล็บแต่ละอันมีค่าเท่ากับศูนย์ เพื่อให้ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม:
x^2 + 6x + 9 = 0
เปรียบเทียบกับรูปแบบมาตรฐาน:
ขวาน^2 + bx + c = 0
ในตัวอย่าง = 1, ข= 6 และค= 9. ความท้าทายของการแยกตัวประกอบคือการหาตัวเลขสองตัวมารวมกันเพื่อให้ได้ตัวเลขในขจุดและคูณเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ตัวเลขในที่สำหรับค.
ดังนั้น การแทนตัวเลขโดยdและอีคุณกำลังมองหาตัวเลขที่ตรงกับ:
d + e = b
หรือในกรณีนี้ด้วยข = 6:
d + e = 6
และ
d × e = c
หรือในกรณีนี้ด้วยค = 9:
d × e = 9
เน้นการหาตัวเลขที่เป็นปัจจัยของคแล้วรวมเข้าด้วยกันเพื่อดูว่าเท่ากันหรือไม่ข. เมื่อคุณมีตัวเลขแล้ว ให้ใส่ในรูปแบบต่อไปนี้:
(x + ง) (x + จ)
ในตัวอย่างข้างต้นทั้งdและอีคือ 3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
ถ้าคุณคูณวงเล็บออก คุณจะได้นิพจน์เดิมอีกครั้ง และนี่เป็นแนวปฏิบัติที่ดีในการตรวจสอบการแยกตัวประกอบของคุณ คุณสามารถดำเนินการตามขั้นตอนนี้ได้ (โดยการคูณส่วนแรก ด้านใน ด้านนอก และส่วนสุดท้ายของวงเล็บ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในแหล่งข้อมูล) เพื่อดูแบบย้อนกลับ:
\begin{aligned} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{จัดตำแหน่ง}
การแยกตัวประกอบอย่างมีประสิทธิภาพดำเนินการผ่านกระบวนการนี้ในทางกลับกัน แต่อาจเป็นเรื่องยากที่จะหาค่า วิธีที่ถูกต้องในการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง และวิธีนี้ไม่เหมาะสำหรับสมการกำลังสองทุกสมการสำหรับสิ่งนี้ เหตุผล. บ่อยครั้งที่คุณต้องเดาการแยกตัวประกอบแล้วตรวจสอบ
ปัญหาคือตอนนี้ทำให้นิพจน์ในวงเล็บออกมามีค่าเท่ากับศูนย์โดยการเลือกค่าของคุณสำหรับx. ถ้าวงเล็บใดมีค่าเท่ากับศูนย์ สมการทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ และคุณพบคำตอบแล้ว ดูขั้นตอนสุดท้าย [(x + 3) (x+ 3) = 0] และคุณจะเห็นว่าครั้งเดียวที่วงเล็บออกมาเป็นศูนย์คือ ifx= −3. ในกรณีส่วนใหญ่ สมการกำลังสองมีสองคำตอบ
การแยกตัวประกอบจะยิ่งท้าทายมากขึ้นถ้าไม่เท่ากับหนึ่ง แต่เน้นกรณีง่าย ๆ จะดีกว่าในตอนแรก
การเติมกำลังสองเพื่อแก้สมการ
การเติมกำลังสองให้สมบูรณ์จะช่วยให้คุณแก้สมการกำลังสองที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อย่างง่ายดาย วิธีนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกแบบ แต่บางสมการก็เหมาะกับสมการนี้มากกว่าวิธีอื่นๆ วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการทำให้นิพจน์กลายเป็นกำลังสองที่สมบูรณ์แบบและแก้ปัญหานั้น สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบทั่วไปจะขยายดังนี้:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
ในการแก้สมการกำลังสองโดยการเติมกำลังสอง ให้ใส่นิพจน์ลงในแบบฟอร์มทางด้านขวามือของด้านบน ก่อนอื่นให้หารตัวเลขใน numberขตำแหน่ง 2 แล้วยกกำลังสองผลลัพธ์ ดังนั้นสำหรับสมการ:
x^2 + 8x = 0
ค่าสัมประสิทธิ์ข= 8 ดังนั้นข÷ 2 = 4 และ (ข ÷ 2)2 = 16.
เพิ่มสิ่งนี้ทั้งสองด้านเพื่อรับ:
x^2 + 8x + 16 = 16
โปรดทราบว่ารูปแบบนี้ตรงกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบด้วยd= 4 ดังนั้น 2d= 8 และd2 = 16. ซึ่งหมายความว่า:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
ใส่สิ่งนี้ลงในสมการก่อนหน้าเพื่อรับ:
(x + 4)^2 = 16
ตอนนี้แก้สมการสำหรับx. หารากที่สองของทั้งสองข้างเพื่อรับ:
x + 4 = \sqrt{16}
ลบ 4 จากทั้งสองข้างเพื่อรับ:
x = \sqrt{16} - 4
รูทสามารถเป็นค่าบวกหรือค่าลบได้ และการรูทค่าลบจะทำให้:
x = -4 - 4 = -8
ค้นหาวิธีแก้ปัญหาอื่นที่มีรูทบวก:
x = 4 - 4 = 0
ดังนั้นคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวคือ −8 ตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อยืนยัน
การใช้สูตรกำลังสองแก้สมการ
สูตรสมการกำลังสองดูซับซ้อนกว่าวิธีอื่นๆ แต่เป็นวิธีที่น่าเชื่อถือที่สุด และคุณสามารถใช้สูตรนี้กับสมการกำลังสองแบบใดก็ได้ สมการใช้สัญลักษณ์จากสมการกำลังสองมาตรฐาน:
ขวาน^2 + bx + c = 0
และระบุว่า:
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
ใส่ตัวเลขที่เหมาะสมลงในตำแหน่งและคำนวณโดยใช้สูตรเพื่อแก้โจทย์ อย่าลืมลองลบและเพิ่มพจน์รากที่สองและจดคำตอบทั้งสองไว้ สำหรับตัวอย่างต่อไปนี้:
x^2 + 6x + 5 = 0
คุณมี = 1, ข= 6 และค= 5. ดังนั้นสูตรจึงให้:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{aligned}
เครื่องหมายบวกให้:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{aligned}
และการเอาเครื่องหมายลบทำให้:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{aligned}
ซึ่งเป็นสองคำตอบของสมการ
วิธีการหาวิธีที่ดีที่สุดในการแก้สมการกำลังสอง
มองหาการแยกตัวประกอบก่อนที่จะลองอย่างอื่น หากคุณสามารถระบุได้ นี่เป็นวิธีที่เร็วและง่ายที่สุดในการแก้สมการกำลังสอง จำไว้ว่าคุณกำลังมองหาตัวเลขสองตัวที่รวมกันเป็นขสัมประสิทธิ์และคูณเพื่อให้คค่าสัมประสิทธิ์ สำหรับสมการนี้:
x^2 + 5x + 6 = 0
คุณสามารถสังเกตได้ว่า 2 + 3 = 5 และ 2 × 3 = 6 ดังนั้น:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
และx= −2 หรือx = −3.
หากคุณไม่เห็นการแยกตัวประกอบ ให้ตรวจสอบว่าขสัมประสิทธิ์หารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่ต้องใช้เศษส่วน ถ้าใช่ การเติมกำลังสองอาจเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการ
หากไม่มีแนวทางใดที่เหมาะสม ให้ใช้สูตร วิธีนี้ดูเหมือนเป็นวิธีที่ยากที่สุด แต่ถ้าคุณอยู่ในการสอบหรือถูกเร่งเวลา ก็อาจทำให้กระบวนการนี้เครียดน้อยลงและเร็วขึ้นมาก