อัตลักษณ์ครึ่งมุมคืออะไร?

ทบทวนอัตลักษณ์ครึ่งมุม

\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}

\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}

\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \cotθ

\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \cotθ

ตัวอย่างการใช้อัตลักษณ์แบบครึ่งมุม

ลองนึกภาพว่าคุณถูกขอให้หาไซน์ของมุม 15 องศา นี่ไม่ใช่มุมหนึ่งที่นักเรียนส่วนใหญ่จะจำค่าของฟังก์ชันตรีโกณฯ แต่ถ้าคุณให้ 15 องศาเท่ากับ θ/2 แล้วแก้หา θ คุณจะพบว่า:

\frac{θ}{2} = 15 \\ θ = 30

เนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้ 30 คือ 30 องศา เป็นมุมที่คุ้นเคยมากกว่า การใช้สูตรครึ่งมุมในที่นี้จะเป็นประโยชน์

เนื่องจากระบบขอให้คุณค้นหาไซน์ จึงมีสูตรครึ่งมุมให้เลือกเพียงสูตรเดียว:

\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}

แทนที่ในθ/2 = 15 องศาและθ= 30 องศา ให้คุณ:

\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}

หากคุณถูกขอให้ค้นหาแทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์ ซึ่งทั้งสองวิธีคูณวิธีการแสดงความเป็นครึ่งมุมของพวกมัน คุณก็แค่เลือกเวอร์ชันที่ดูง่ายที่สุดในการทำงาน

เครื่องหมาย ± ที่จุดเริ่มต้นของอัตลักษณ์แบบครึ่งมุมหมายความว่ารากที่เป็นปัญหาอาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบ คุณสามารถแก้ไขความกำกวมนี้ได้โดยใช้ความรู้ของคุณเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติในจตุภาค ต่อไปนี้คือข้อมูลสรุปโดยย่อว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติใดบ้างที่ส่งคืนบวกค่าที่จตุภาค:

• Quadrant I: ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด
  
• Quadrant II: เฉพาะไซน์และโคซีแคนต์
• Quadrant III: เฉพาะแทนเจนต์และโคแทนเจนต์
• จตุภาค IV: เฉพาะโคไซน์และซีแคนต์

เพราะในกรณีนี้ มุมของคุณ θ แทน 30 องศา ซึ่งอยู่ใน Quadrant I คุณรู้ว่าค่าไซน์ที่ส่งกลับจะเป็นค่าบวก คุณจึงวางเครื่องหมาย ± และประเมินได้ง่ายๆ ดังนี้

\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}

แทนที่ด้วยค่าที่คุ้นเคยและรู้จักของ cos (30) ในกรณีนี้ ให้ใช้ค่าที่แน่นอน (ตรงข้ามกับการประมาณทศนิยมจากแผนภูมิ):

\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}

ต่อไป ลดความซับซ้อนทางด้านขวาของสมการเพื่อค้นหาค่าของบาป (15) เริ่มต้นด้วยการคูณนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ด้วย 2/2 ซึ่งจะทำให้:

\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}

สิ่งนี้ทำให้ง่ายขึ้นเพื่อ:

\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}

จากนั้นคุณสามารถแยกตัวประกอบรากที่สองของ 4:

\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}

ในกรณีส่วนใหญ่ นี่คือสิ่งที่คุณต้องการจะลดความซับซ้อนลง แม้ว่าผลลัพธ์ที่ได้อาจไม่สวยงามนัก แต่คุณได้แปลค่าไซน์ของมุมที่ไม่คุ้นเคยเป็นปริมาณที่แน่นอนแล้ว