วิธีอธิบายการพิสูจน์ประเภทต่างๆ ในเรขาคณิต

เผชิญหน้า: การพิสูจน์ไม่ใช่เรื่องง่าย และในทางเรขาคณิต สิ่งต่างๆ ดูเหมือนจะแย่ลงไปอีก เนื่องจากตอนนี้คุณต้องเปลี่ยนรูปภาพให้เป็นข้อความเชิงตรรกะ โดยทำการสรุปโดยใช้ภาพวาดง่ายๆ หลักฐานประเภทต่างๆ ที่คุณเรียนรู้ในโรงเรียนอาจเป็นเรื่องที่หนักใจในตอนแรก แต่เมื่อคุณเข้าใจแต่ละประเภทแล้ว คุณจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นมากว่าเมื่อใดและเพราะเหตุใดจึงควรใช้การพิสูจน์ประเภทต่างๆ ในเรขาคณิต

หลักฐานโดยตรงทำงานเหมือนลูกศร คุณเริ่มต้นด้วยข้อมูลที่ให้และสร้างจากข้อมูลนั้น โดยมุ่งไปในทิศทางของสมมติฐานที่คุณต้องการพิสูจน์ ในการใช้การพิสูจน์โดยตรง คุณใช้การอนุมาน กฎจากเรขาคณิต คำจำกัดความของรูปทรงเรขาคณิตและตรรกะทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์โดยตรงเป็นประเภทการพิสูจน์ที่ได้มาตรฐานมากที่สุด และสำหรับนักเรียนหลายๆ คน รูปแบบการพิสูจน์ที่นำไปสู่การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณรู้ว่าจุด C เป็นจุดกึ่งกลางของเส้น AB คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่า AC = CB โดย โดยใช้คำจำกัดความของจุดกึ่งกลาง: จุดที่ตกลงมาจากปลายแต่ละด้านของเส้นเท่ากันหมด ส่วน การดำเนินการนี้ใช้คำจำกัดความของจุดกึ่งกลางและนับเป็นการพิสูจน์โดยตรง

หลักฐานทางอ้อมก็เหมือนบูมเมอแรง ช่วยให้คุณสามารถย้อนกลับปัญหาได้ แทนที่จะใช้คำแถลงและรูปแบบที่คุณได้รับ คุณเปลี่ยนปัญหาโดยนำข้อความที่คุณต้องการพิสูจน์และสมมติว่าไม่เป็นความจริง จากจุดนั้น คุณแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถเป็นจริงได้ ซึ่งเพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่าเป็นความจริง แม้จะฟังดูน่าสับสน แต่ก็ทำให้การพิสูจน์หลายๆ อย่างง่ายขึ้นซึ่งดูเหมือนจะพิสูจน์ได้ยากผ่านการพิสูจน์โดยตรง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณมีเส้นแนวนอน AC ที่ผ่านจุด B และที่จุด B เป็นเส้นตั้งฉากกับ AC ที่มีจุดสิ้นสุด D เรียกว่าเส้น BD หากคุณต้องการพิสูจน์ว่าการวัดมุม ABD เท่ากับ 90 องศา คุณสามารถเริ่มได้โดยพิจารณาว่าการวัดของ ABD ไม่ใช่ 90 องศาหมายความว่าอย่างไร สิ่งนี้จะนำคุณไปสู่ข้อสรุปที่เป็นไปไม่ได้สองประการ: AC และ BD ไม่ตั้งฉากและ AC ไม่ใช่เส้นตรง แต่ทั้งสองข้อนี้เป็นข้อเท็จจริงที่ระบุไว้ในปัญหาซึ่งขัดแย้งกัน ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า ABD อยู่ที่ 90 องศา

บางครั้งคุณเจอปัญหาที่ขอให้คุณพิสูจน์บางอย่างที่ไม่เป็นความจริง ในกรณีเช่นนี้ คุณสามารถใช้แท่นยิงจรวดเพื่อระเบิดตัวเองให้ไม่ต้องจัดการกับปัญหาโดยตรง แทนที่จะให้ตัวอย่างโต้แย้งเพื่อแสดงให้เห็นว่าบางสิ่งไม่เป็นความจริง เมื่อคุณใช้ตัวอย่างโต้แย้ง คุณต้องการเพียงตัวอย่างที่ดีเพียงตัวอย่างเดียวในการพิสูจน์ประเด็นของคุณ และหลักฐานจะถูกต้อง ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการตรวจสอบความถูกต้องหรือทำให้ข้อความว่า "สี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน" คุณจำเป็นต้องให้ตัวอย่างเพียงหนึ่งตัวอย่างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณสามารถทำได้โดยวาดสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านขนานกันเพียงสองด้าน การมีอยู่ของรูปร่างที่คุณเพิ่งวาดจะหักล้างข้อความที่ว่า “สี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน”

เฉกเช่นเรขาคณิตเป็นคณิตศาสตร์เชิงภาพ โฟลว์ชาร์ตหรือการพิสูจน์โฟลว์ก็เป็นการพิสูจน์ประเภทที่มองเห็นได้เช่นเดียวกัน ในการพิสูจน์การไหล คุณเริ่มต้นด้วยการเขียนหรือวาดข้อมูลทั้งหมดที่คุณทราบที่อยู่ติดกัน จากที่นี่ ทำการอนุมาน โดยเขียนตามบรรทัดด้านล่าง ในการทำเช่นนี้ คุณกำลัง "ซ้อน" ข้อมูลของคุณ ทำสิ่งที่คล้ายกับปิรามิดคว่ำ คุณใช้ข้อมูลที่คุณต้องทำการอนุมานเพิ่มเติมในบรรทัดด้านล่าง จนกว่าคุณจะไปถึงจุดต่ำสุด ซึ่งเป็นคำสั่งเดียวที่พิสูจน์ปัญหา ตัวอย่างเช่น คุณอาจมีเส้น L ที่ตัดผ่านจุด P ของเส้น MN และคำถามขอให้คุณพิสูจน์ MP = PN เนื่องจาก L แบ่งครึ่ง MN คุณสามารถเริ่มต้นด้วยการเขียนข้อมูลที่กำหนดโดยเขียน "L bisects MN at P" ที่ด้านบน ด้านล่าง เขียนข้อมูลที่ตามมาจากข้อมูลที่กำหนด: สองส่วนสร้างส่วนที่สอดคล้องกันสองส่วนของเส้น ถัดจากข้อความนี้ ให้เขียนข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตที่จะช่วยให้คุณได้รับหลักฐาน สำหรับปัญหานี้ ความจริงที่ว่าส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันนั้นช่วยได้ เขียนว่า. ใต้ข้อมูลสองส่วนนี้ คุณสามารถเขียนข้อสรุปได้ตามปกติ: MP = PN