อะไรคือความแตกต่างระหว่างลำดับและซีรีส์?

แม้ว่าคำภาษาอังกฤษ "sequence" และ "series" จะมีความหมายใกล้เคียงกัน แต่ในทางคณิตศาสตร์ กลับมีแนวคิดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ลำดับคือรายการของตัวเลขที่อยู่ในลำดับที่กำหนด ในขณะที่ชุดข้อมูลเป็นผลรวมของรายการตัวเลขดังกล่าว มีลำดับหลายประเภท รวมทั้งลำดับตามรายการจำนวนอนันต์ ลำดับที่ต่างกันและชุดข้อมูลที่เกี่ยวข้องกันมีคุณสมบัติต่างกันและสามารถให้ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจได้

ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)

ลำดับคือรายการของตัวเลขที่อยู่ในลำดับที่แน่นอนตามกฎที่กำหนด อนุกรมที่สอดคล้องกับลำดับคือผลรวมของตัวเลขในลำดับนั้น อนุกรมสามารถเป็นเลขคณิตได้ หมายความว่ามีความแตกต่างคงที่ระหว่างตัวเลขของอนุกรมหรือเรขาคณิต ซึ่งหมายความว่ามีปัจจัยคงที่ อนุกรมอนันต์ไม่มีจำนวนสุดท้าย แต่อาจมีผลรวมคงที่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ

ลำดับทั่วไปคือเลขคณิตหรือเรขาคณิต ในลำดับเลขคณิต แต่ละจำนวนหรือเทอมของลำดับแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้าความแตกต่างของลำดับเลขคณิตเป็น 2 ลำดับเลขคณิตที่สอดคล้องกันอาจเป็น 1, 3, 5... หากผลต่างคือ -3 ลำดับอาจเป็น 4, 1, -2... ลำดับเลขคณิตถูกกำหนดโดยตัวเลขเริ่มต้นและส่วนต่าง

สำหรับลำดับเรขาคณิต เงื่อนไขจะแตกต่างกันไปตามปัจจัย ตัวอย่างเช่น ลำดับที่มีตัวประกอบเป็น 2 อาจเป็น 2, 4, 8... และลำดับที่มีค่าตัวประกอบ 0.75 อาจเป็น 32, 24, 18... ลำดับเรขาคณิตถูกกำหนดโดยตัวเลขเริ่มต้นและปัจจัย

ประเภทชุดข้อมูลขึ้นอยู่กับลำดับที่เพิ่มเข้ามา อนุกรมเลขคณิตเพิ่มเงื่อนไขของลำดับเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิตเพิ่มลำดับเรขาคณิต

ลำดับและอนุกรมที่เกี่ยวข้องสามารถยึดตามจำนวนคงที่หรือจำนวนอนันต์ ลำดับจำกัดมีจำนวนเริ่มต้น ความแตกต่างหรือปัจจัย และจำนวนพจน์รวมคงที่ ตัวอย่างเช่น ลำดับเลขคณิตแรกด้านบนที่มีแปดพจน์คือ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ลำดับเรขาคณิตแรกด้านบนที่มีหกพจน์คือ 2, 4, 8, 16, 32, 64 ชุดเลขคณิตที่สอดคล้องกันจะมีค่า 64 และชุดเรขาคณิต 126 ลำดับอนันต์ไม่มีจำนวนพจน์คงที่ และพจน์ของพวกมันสามารถขยายเป็นอนันต์ ลดลงเป็นศูนย์ หรือเข้าใกล้ค่าคงที่ อนุกรมที่เกี่ยวข้องยังสามารถมีผลอนันต์, ศูนย์หรือคงที่

อนุกรมอนันต์จะแตกต่างกันหากผลรวมเข้าใกล้อนันต์เมื่อจำนวนเทอมเพิ่มขึ้น อนุกรมอนันต์จะบรรจบกันถ้าผลรวมของมันเข้าใกล้ค่าที่ไม่สิ้นสุด เช่น ศูนย์หรือจำนวนคงที่อื่น อนุกรมจะลู่เข้าถ้าเงื่อนไขของลำดับพื้นฐานเข้าใกล้ศูนย์อย่างรวดเร็ว

ชุดที่เพิ่มเงื่อนไขของลำดับอนันต์ 1, 2, 4... มีความแตกต่างกันเนื่องจากเงื่อนไขของลำดับเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ทำให้ผลรวมไปถึงค่าอนันต์เมื่อจำนวนเทอมเพิ่มขึ้น ชุดที่ 1, 0.5, 0.25... มาบรรจบกันเพราะเงื่อนไขมีขนาดเล็กมากอย่างรวดเร็ว

ในขณะที่ลำดับรายการของตัวเลขและอนุกรมเป็นผลรวม ทั้งสองสามารถเป็นเครื่องมือที่สำคัญใน การประเมินชุดของตัวเลขและคุณสมบัติของคอนเวอร์เจนซ์หรือไดเวอร์เจนซ์อาจมีชีวิตจริง ความหมาย อนุกรมลู่ออกมักจะแสดงถึงสภาวะที่ไม่เสถียร ในขณะที่อนุกรมลู่เข้ามักจะหมายความว่ากระบวนการหรือโครงสร้างจะมีเสถียรภาพ