Imagine que você está no meio de uma arena perfeitamente circular. Você olha para a multidão ao longo das laterais da arena e avista seu melhor amigo em um assento e seu professor de matemática do ensino médio algumas seções adiante. Qual é a distância entre eles e você? Qual a distância que você teria que andar para viajar da cadeira do seu amigo até a cadeira do seu professor? Quais são as medidas dos ângulos entre vocês? Todas essas são questões relacionadas aos ângulos centrais.
UMA ângulo central é o ângulo que se forma quando dois raios são desenhados do centro do círculo até suas bordas. Neste exemplo, os dois raios são suas duas linhas de visão de você, no centro da arena, para seu amigo, e sua linha de visão para seu professor. O ângulo que se forma entre essas duas linhas é o ângulo central. É o ângulo mais próximo do centro do círculo.
Seu amigo e seu professor estão sentados ao longo do circunferência ou as bordas do círculo. O caminho ao longo da arena que os conecta é um arco.
Encontre o Ângulo Central a partir do Comprimento do Arco e Circunferência
Existem algumas equações que você pode usar para encontrar o ângulo central. Às vezes você obterá o comprimento do arco, a distância ao longo da circunferência entre dois pontos. (No exemplo, esta é a distância que você teria que caminhar ao redor da arena para ir de seu amigo para seu professor.) A relação entre o ângulo central e o comprimento do arco é:
(comprimento do arco) ÷ circunferência = (ângulo central) ÷ 360 °
O ângulo central estará em graus.
Esta fórmula faz sentido, se você pensar bem. O comprimento do arco fora do comprimento total ao redor do círculo (circunferência) é a mesma proporção que o ângulo do arco fora do ângulo total em um círculo (360 graus).
Para usar esta equação com eficácia, você precisa saber a circunferência do círculo. Mas você também pode usar esta fórmula para encontrar o comprimento do arco se souber o ângulo central e a circunferência. Ou, se você tiver o comprimento do arco e o ângulo central, poderá encontrar a circunferência!
Encontre o Ângulo Central a partir do Comprimento do Arco e do Raio
Você também pode usar o raio do círculo e o comprimento do arco para encontrar o ângulo central. Chame a medida do ângulo central de θ. Então:
θ = s÷ r, onde s é o comprimento do arco e r é o raio. θ é medido em radianos.
Novamente, você pode reorganizar essa equação dependendo das informações de que dispõe. Você pode encontrar o comprimento do arco a partir do raio e do ângulo central. Ou você pode encontrar o raio se tiver o ângulo central e o comprimento do arco.
Se você quiser o comprimento do arco, a equação se parece com isto:
s =θ * r, onde s é o comprimento do arco, r é o raio e θ é o ângulo central em radianos.
O Teorema do Ângulo Central
Vamos adicionar uma reviravolta ao seu exemplo onde você está na arena com seu vizinho e seu professor. Agora há uma terceira pessoa que você conhece na arena: seu vizinho. E mais uma coisa: eles estão atrás de você. Você tem que se virar para vê-los.
Seu vizinho está aproximadamente do outro lado da arena de seu amigo e seu professor. Do ponto de vista do seu vizinho, existe um ângulo formado pela linha de visão dele para o amigo e a linha de visão para o professor. Isso é chamado de ângulo inscrito. A ângulo inscrito é um ângulo formado por três pontos ao longo da circunferência de um círculo.
O Teorema do Ângulo Central explica a relação entre o tamanho do ângulo central, formado por você, e o ângulo inscrito, formado por seu vizinho. O Teorema do Ângulo Central afirma que o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito. (Isso pressupõe que você está usando os mesmos terminais. Ambos estão olhando para o professor e para o amigo, e não para mais ninguém.
Aqui está outra maneira de escrever. Vamos chamar o assento do seu amigo A, o assento do professor B e o assento do vizinho C. Você, no centro, pode ser O.
Assim, para três pontos A, B e C ao longo da circunferência de um círculo e o ponto O no centro, o ângulo central ∠AOC é duas vezes o ângulo inscrito ∠ABC.
Isso é, ∠AOC = 2∠ABC.
Isso faz algum sentido. Você está mais perto do amigo e do professor, então para você eles parecem mais distantes (um ângulo maior). Para o seu vizinho do outro lado do estádio, eles parecem muito mais próximos (um ângulo menor).
Exceção ao Teorema do Ângulo Central
Agora, vamos mudar as coisas. Seu vizinho do outro lado da arena começa a se mover! Eles ainda têm uma linha de visão para o amigo e o professor, mas as linhas e os ângulos continuam mudando conforme o vizinho se move. Adivinhe: enquanto o vizinho ficar fora do arco entre o amigo e o vizinho, o Teorema do Ângulo Central ainda é válido!
Mas o que acontece quando o vizinho se muda entre o amigo e o professor? Agora seu vizinho está dentro do arco menor, a distância relativamente pequena entre o amigo e o professor em comparação com a distância maior em torno do resto da arena. Então você chega a uma exceção para o Teorema do Ângulo Central.
O exceção ao Teorema do Ângulo Central afirma que quando o ponto C, o vizinho, está dentro do arco menor, o ângulo inscrito é o suplemento da metade do ângulo central. (Lembre-se de que um ângulo e sua suplemento adicione a 180 graus.)
Então: ângulo inscrito = 180 - (ângulo central ÷ 2)
Ou: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualizar
O Math Open Reference possui uma ferramenta para visualizar o Teorema do Ângulo Central e sua exceção. Você pode arrastar o "vizinho" para todas as partes diferentes do círculo e observar a mudança dos ângulos. Experimente se quiser uma prática visual ou extra!