Depois de começar a resolver equações algébricas que envolvem polinômios, a capacidade de reconhecer formas especiais e facilmente fatoradas de polinômios se torna muito útil. Um dos polinômios de "fator fácil" mais úteis para localizar é o quadrado perfeito, ou o trinômio que resulta da quadratura de um binômio. Depois de identificar um quadrado perfeito, incluí-lo em seus componentes individuais costuma ser uma parte vital do processo de solução de problemas.
Antes de fatorar um trinômio quadrado perfeito, você precisa aprender a reconhecê-lo. Um quadrado perfeito pode assumir qualquer uma das duas formas
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, que é o produto de} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, que é o produto de} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Verifique o primeiro e o terceiro termos do trinômio. Ambos são quadrados? Se sim, descubra do que eles são quadrados. Por exemplo, no segundo exemplo de "mundo real" dado acima:
y ^ 2 - 2y + 1
O termoy2 é obviamente o quadrado dey.O termo 1 é, talvez menos obviamente, o quadrado de 1, porque 12 = 1.
Multiplique as raízes do primeiro e do terceiro termos. Para continuar o exemplo,ye 1, que dá a vocêy × 1 = 1you simplesmentey.
Em seguida, multiplique seu produto por 2. Continuando o exemplo, você tem 2y.
Finalmente, compare o resultado da última etapa com o termo médio do polinômio. Eles combinam? No polinômioy2 – 2y+ 1, eles fazem. (O sinal é irrelevante; também seria uma correspondência se o termo do meio fosse +2y.)
Como a resposta na Etapa 1 foi "sim" e o resultado da Etapa 2 corresponde ao termo do meio do polinômio, você sabe que está olhando para um trinômio quadrado perfeito.
Depois de saber que está olhando para um trinômio quadrado perfeito, o processo de fatoração é bastante simples.
Identifique as raízes, ou os números sendo elevados ao quadrado, no primeiro e no terceiro termos do trinômio. Considere outro de seus trinômios de exemplo que você já sabe que é um quadrado perfeito:
x ^ 2 + 8x + 16
Obviamente, o número ao quadrado no primeiro termo éx. O número ao quadrado no terceiro termo é 4, porque 42 = 16.
Pense nas fórmulas para trinômios quadrados perfeitos. Você sabe que seus fatores assumirão a forma (uma + b)(uma + b) ou o formulário (uma – b)(uma – b), Ondeumaebsão os números sendo elevados ao quadrado no primeiro e no terceiro termos. Portanto, você pode escrever seus fatores assim, omitindo os sinais no meio de cada termo por enquanto:
(uma \,? \,BA \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
Para continuar o exemplo substituindo as raízes de seu trinômio atual, você tem:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Verifique o termo médio do trinômio. Tem um sinal positivo ou um sinal negativo (ou, dito de outra forma, está sendo adicionado ou subtraído)? Se ele tiver um sinal positivo (ou estiver sendo adicionado), então ambos os fatores do trinômio têm um sinal de mais no meio. Se tiver um sinal negativo (ou estiver sendo subtraído), ambos os fatores terão um sinal negativo no meio.
O termo do meio do trinômio de exemplo atual é 8x- é positivo - então agora você fatorou o trinômio quadrado perfeito:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Verifique seu trabalho multiplicando os dois fatores. Aplicar o FOIL ou método primeiro, externo, interno e último dá a você:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Simplificar isso dá o resultadox2 + 8x+ 16, que corresponde ao seu trinômio. Portanto, os fatores estão corretos.