O que é uma desigualdade?

Quando você começa a aprender álgebra, um sinal de igual é usado para significar, literalmente, que as duas coisas são iguais uma à outra. Por exemplo, 3 = 3, 5 = 3 + 2, maçã = maçã, pêra = pêra e assim por diante, que são todos exemplos de equações. Por comparação, uma desigualdade fornece duas informações: primeiro, que as coisas que estão sendo comparadas sãonãoigual, ou pelo menos nem sempre igual; e segundo, de que forma eles são desiguais.

Uma desigualdade é escrita exatamente como você escreveria uma equação, exceto que em vez de usar um sinal de igual, você usa um dos sinais de desigualdade. Eles são ">" a.k.a. "maiores que," " e edesigual.

Uma representação visual - isto é, um gráfico - de uma desigualdade é outra maneira de visualizar o que uma desigualdade realmente significa. Representar graficamente as desigualdades também é algo que você deverá fazer na aula de matemática. Imagine a seguinte equação:

Se você fosse representar graficamente, seria uma linha diagonal passando direto pela origem, angular para cima e para a direita com inclinação de 1 ou, se preferir, de 1/1. Todas as soluções possíveis para a equação estão nessa linha, e apenas nessa linha.

Mas e se em vez de uma equação, você tivesse a desigualdade

Este símbolo de desigualdade particular seria lido como "menor ou igual a" e informa quex​ = ​yé uma solução possível, junto com todas as combinações ondexé menos do quey​.

Então, a linha que representax​ = ​ycontinua a ser uma solução possível, e você a desenharia como de costume. Mas você também sombreie a área à esquerda da linha, porque qualquer valor ondexé menos do queytambém está incluído em suas soluções.

Se em vez dex​ ≤ ​yvocê teve a desigualdade estritax​ < ​y, você representaria um gráfico exatamente da mesma forma quex​ ≤ ​y,exceto isso porquex​ = ​ynão é mais uma opção, você não traçaria essa linha de forma sólida. Em vez disso, você desenhariax​ = ​yem uma linha tracejada ou quebrada, mostrando que embora não faça parte do conjunto de solução, ainda é a borda entre o conjunto de soluções válidas (neste caso, à esquerda de sua linha) e as não soluções do outro lado do linha.

Para a maior parte, resolver desigualdades funciona exatamente da mesma forma que resolver equações. Por exemplo, se você se deparou com a equação simples

você dividiria ambos os lados por 2 para chegar à respostax​ = 3.

Você faria o mesmo se, em vez disso, se deparasse com os mesmos números de uma desigualdade: Diga, 2x≥ 6. Você dividiria os dois lados por 2 e chegaria à soluçãox≥ 3 ou, para escrever em inglês simples,xrepresenta todos os números maiores ou iguais a 3.

Você também pode adicionar e subtrair números em ambos os lados de uma inequação, assim como faz com as equações, ou dividir pelo mesmo número em ambos os lados.

Mas há uma exceção notável a ser observada: se você multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, terá que inverter a direção do sinal de desigualdade. Por exemplo, considere a desigualdade -4y​ > 24.

Isolary, você precisará dividir os dois lados por -4. Esse é o seu gatilho para mudar a direção do sinal de desigualdade. Então, depois de dividir, você tem:

Observe que o conjunto de soluções para a desigualdade dada inclui −7, −8, −7,5, −9,23 e um número infinito de outras soluções que são menores que −6, mas não -6 em si, porque o sinal de desigualdade não tem a barra extra para "ou igual a." Portanto, para verificar seu trabalho, certifique-se de substituir os valores de sua solução definir.

Se você substituir −6 na desigualdade original, acabará com −4 × −6> 24 ou 24> 24, o que não faz sentido. Nem deveria, uma vez que −6 não está incluído no conjunto de solução. Mas se você fosse começar a substituir valores queestãoincluído no conjunto de soluções, como −7, você obteria resultados válidos. Por exemplo:

que simplifica para:

que é um resultado válido.