Como Encontrar uma Equação Exponencial com Dois Pontos

Se você conhece dois pontos que caem em uma curva exponencial específica, pode definir a curva resolvendo a função exponencial geral usando esses pontos. Na prática, isso significa substituir os pontos por y e x na equação y = ab^x. O procedimento é mais fácil se o valor x para um dos pontos for 0, o que significa que o ponto está no eixo y. Se nenhum dos pontos tiver um valor x zero, o processo para resolver xey é um pouco mais complicado.

Muitos sistemas importantes seguem padrões exponenciais de crescimento e decadência. Por exemplo, o número de bactérias em uma colônia geralmente aumenta exponencialmente, e a radiação ambiente na atmosfera após um evento nuclear geralmente diminui exponencialmente. Ao obter dados e traçar uma curva, os cientistas estão em uma posição melhor para fazer previsões.

Qualquer ponto em um gráfico bidimensional pode ser representado por dois números, que geralmente são escritos na a forma (x, y), onde x define a distância horizontal da origem ey representa a vertical distância. Por exemplo, o ponto (2, 3) está duas unidades à direita do eixo y e três unidades acima do eixo x. Por outro lado, o ponto (-2, -3) está duas unidades à esquerda do eixo y. e três unidades abaixo do eixo x.

Se você tiver dois pontos, (x₁, y₁) e (x₂, y₂), você pode definir a função exponencial que passa por esses pontos substituindo-os na equação y = ab^x e resolvendo para a e b. Em geral, você deve resolver este par de equações:

y₁ = ab^x1 e y₂ = ab^x2, .

Neste formulário, a matemática parece um pouco complicada, mas parece menos depois de alguns exemplos.

Se um dos valores x - diga x₁ - é 0, a operação se torna muito simples. Por exemplo, resolver a equação para os pontos (0, 2) e (2, 4) resulta:

2 = ab⁰ e 4 = ab². Já que sabemos que b⁰ = 1, a primeira equação se torna 2 = a. Substituindo a na segunda equação resulta 4 = 2b², que simplificamos para b² = 2 ou b = raiz quadrada de 2, que é igual a aproximadamente 1,41. A função definidora é então y = 2 (1,41)^x.

Se nenhum dos valores de x for zero, resolver o par de equações será um pouco mais complicado. Henochmath nos mostra um exemplo fácil para esclarecer esse procedimento. Em seu exemplo, ele escolheu o par de pontos (2, 3) e (4, 27). Isso produz o seguinte par de equações:

27 = ab⁴

3 = ab²

Se você dividir a primeira equação pela segunda, você obtém

9 = b²

então b = 3. É possível que b também seja igual a -3, mas, neste caso, suponha que seja positivo.

Você pode substituir este valor por b em qualquer equação para obter a. É mais fácil usar a segunda equação, então:

3 = a (3)² que pode ser simplificado para 3 = a9, a = 3/9 ou 1/3.

A equação que passa por esses pontos pode ser escrita como y = 1/3 (3)^x.

Desde 1910, o crescimento da população humana tem sido exponencial e, ao traçar uma curva de crescimento, os cientistas estão em uma posição melhor para prever e planejar o futuro. Em 1910, a população mundial era de 1,75 bilhão e, em 2010, era de 6,87 bilhões. Tomando 1910 como ponto de partida, obtém-se o par de pontos (0, 1,75) e (100, 6,87). Como o valor x do primeiro ponto é zero, podemos facilmente encontrar a.

1,75 = ab⁰ ou a = 1,75. Colocando este valor, junto com aqueles do segundo ponto, na equação exponencial geral produz 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, que fornece o valor de b como a centésima raiz de 6,87 / 1,75 ou 3,93. Então a equação se torna y = 1,75 (centésima raiz de 3,93)^x. Embora seja necessário mais do que uma régua de cálculo para fazer isso, os cientistas podem usar essa equação para projetar números populacionais futuros e ajudar os políticos do presente a criar políticas apropriadas.