Resolver desigualdades de valor absoluto é muito parecido com resolver equações de valor absoluto, mas há alguns detalhes extras a serem mantidos em mente. Isso ajuda a já estar confortável resolvendo equações de valor absoluto, mas está tudo bem se você estiver aprendendo juntos também!
Definição de Desigualdade de Valor Absoluto
Em primeiro lugar, umdesigualdade de valor absolutoé uma desigualdade que envolve uma expressão de valor absoluto. Por exemplo,
| 5 + x | - 10> 6
é uma desigualdade de valor absoluto porque tem um sinal de desigualdade,>, e uma expressão de valor absoluto, | 5 +x |.
Como resolver uma desigualdade de valor absoluto
Opassos para resolver uma desigualdade de valor absolutosão muito semelhantes às etapas para resolver uma equação de valor absoluto:
Passo 1:Isole a expressão de valor absoluto em um lado da inequação.
Passo 2:Resolva a "versão" positiva da desigualdade.
Etapa 3:Resolva a "versão" negativa da desigualdade multiplicando a quantidade do outro lado da desigualdade por -1 e invertendo o sinal da desigualdade.
Isso é muito para entender de uma vez, então aqui está um exemplo que o guiará pelas etapas.
Resolva a desigualdade parax:
| 5 + 5x | - 3> 2
Para fazer isso, pegue | 5 + 5x| por si só no lado esquerdo da desigualdade. Tudo o que você precisa fazer é adicionar 3 a cada lado:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Agora, existem duas "versões" da desigualdade que precisamos resolver: a "versão" positiva e a "versão" negativa.
Para esta etapa, vamos supor que as coisas são como parecem: que 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Esta é uma desigualdade simples; você só tem que resolver paraxcomo sempre. Subtraia 5 de ambos os lados e, em seguida, divida ambos os lados por 5.
\ begin {alinhado} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(subtraia cinco de ambos os lados)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(divida ambos os lados por cinco)} \\ & x> 0 \ end {alinhado}
Nada mal! Portanto, uma solução possível para a nossa desigualdade é quex> 0. Agora, como há valores absolutos envolvidos, é hora de considerar outra possibilidade.
Para entender o próximo bit, é útil lembrar o que significa valor absoluto.Valor absolutomede a distância de um número de zero. A distância é sempre positiva, então 9 está a nove unidades de zero, mas -9 também está a nove unidades de zero.
Então | 9 = 9, mas | −9 | = 9 também.
Agora, de volta ao problema acima. O trabalho acima mostrou que | 5 + 5x| > 5; em outras palavras, o valor absoluto de "algo" é maior que cinco. Agora, qualquer número positivo maior que cinco estará mais longe de zero do que cinco. Portanto, a primeira opção era que "algo", 5 + 5x, é maior que 5.
Isso é:
5 + 5x> 5
Esse é o cenário abordado acima, na Etapa 2.
Agora pense um pouco mais longe. O que mais está cinco unidades longe de zero? Bem, cinco negativos são. E qualquer coisa mais longe ao longo da reta numérica de cinco negativo estará ainda mais longe de zero. Portanto, nosso "algo" pode ser um número negativo que está mais longe de zero do que cinco negativos. Isso significa que seria um número que soa maior, mas tecnicamenteMenor quecinco negativos porque está se movendo na direção negativa da reta numérica.
Portanto, nosso "algo", 5 + 5x, pode ser menor que −5.
5 + 5x
A maneira rápida de fazer isso algebricamente é multiplicar a quantidade do outro lado da desigualdade, 5, por um negativo e, em seguida, inverter o sinal de desigualdade:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Em seguida, resolva como de costume.
\ begin {alinhado} & 5 + 5x
Portanto, as duas soluções possíveis para a desigualdade sãox> 0 oux< −2. Verifique-se conectando algumas soluções possíveis para ter certeza de que a desigualdade ainda é verdadeira.
Desigualdades de valor absoluto sem solução
Existe um cenário onde haverianenhuma solução para uma desigualdade de valor absoluto. Como os valores absolutos são sempre positivos, eles não podem ser iguais ou menores que números negativos.
Então |x| nenhuma soluçãoporque o resultado de uma expressão de valor absoluto deve ser positivo.
Notação de intervalo
Para escrever a solução para o nosso exemplo principal emnotação de intervalo, pense em como a solução aparece na reta numérica. Nossa solução foix> 0 oux< −2. Em uma linha numérica, é um ponto aberto em 0, com uma linha se estendendo até o infinito positivo, e um ponto aberto em -2, com uma linha se estendendo até o infinito negativo. Essas soluções apontam uma para a outra, não uma para a outra, portanto, pegue cada peça separadamente.
Para x> 0 em uma linha numérica, há um ponto aberto no zero e, em seguida, uma linha se estendendo até o infinito. Na notação de intervalo, um ponto aberto é ilustrado com parênteses, (), e um ponto fechado, ou desigualdades com ≥ ou ≤, usariam colchetes, []. Então parax> 0, escreva (0, ∞).
A outra metade,x
"Ou" na notação de intervalo é o sinal de união, ∪.
Portanto, a solução na notação de intervalo é
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)