Como Encontrar Derivados

Uma das operações importantes que você faz no cálculo é encontrar derivadas. A derivada de uma função também é chamada de taxa de variação dessa função. Por exemplo, se x (t) é a posição de um carro em qualquer momento t, então a derivada de x, que é escrita dx / dt, é a velocidade do carro. Além disso, a derivada pode ser visualizada como a inclinação de uma reta tangente ao gráfico de uma função. Em um nível teórico, é assim que os matemáticos encontram as derivadas. Na prática, os matemáticos usam conjuntos de regras básicas e tabelas de pesquisa.

A inclinação de uma linha entre dois pontos é a subida, ou diferença nos valores y divididos pela corrida, ou diferença nos valores x. A inclinação de uma função y (x) para um determinado valor de x é definida como a inclinação de uma linha tangente à função no ponto [x, y (x)]. Para calcular a inclinação, você constrói uma linha entre o ponto [x, y (x)] e um ponto próximo [x + h, y (x + h)], onde h é um número muito pequeno. Para esta linha, a corrida ou mudança no valor de x é h, e a elevação, ou mudança no valor de y, é y (x + h) - y (x). Consequentemente, a inclinação de y (x) no ponto [x, y (x)] é aproximadamente igual a [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Para obter a inclinação exatamente, você calcula o valor da inclinação conforme h fica cada vez menor, até o “limite” onde vai para zero. A inclinação calculada desta forma é a derivada de y (x), que é escrita como y ’(x) ou dy / dx.

Você pode usar o método de inclinação / limite para calcular as derivadas de funções onde y é igual a x elevado à potência de a, ou y (x) = x ^ a. Por exemplo, se y é igual a x ao cubo, y (x) = x ^ 3, então dy / dx é o limite quando h vai para zero de [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Expandir (x + h) ^ 3 dá [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, que se reduz para 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 após a divisão por h. No limite, conforme h vai para zero, todos os termos que possuem h também vão para zero. Então, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Você pode fazer isso para valores diferentes de 3 e, em geral, pode mostrar que d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Muitas funções podem ser escritas como o que chamamos de série de potências, que são a soma de um número infinito de termos, onde cada um está na forma C (n) x ^ n, onde x é uma variável, n é um inteiro e C (n) é um número específico para cada valor de n. Por exemplo, a série de potências para a função seno é Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., onde "..." significa que os termos continuam em ao infinito. Se você conhece a série de potências de uma função, pode usar a derivada da potência x ^ n para calcular a derivada da função. Por exemplo, a derivada de Sin (x) é igual a 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., que passa a ser a série de potências para Cos (x).

As derivadas de funções básicas, como potências como x ^ a, funções exponenciais, funções de log e funções trigonométricas, são encontradas usando o método de inclinação / limite, o método de série de potências ou outros métodos. Esses derivados são listados em tabelas. Por exemplo, você pode verificar que a derivada de Sin (x) é Cos (x). Quando funções complexas são combinações das funções básicas, você precisa de regras especiais, como a regra da cadeia e a regra do produto, que também são fornecidas nas tabelas. Por exemplo, você usa a regra da cadeia para descobrir que a derivada de Sin (x ^ 2) é 2xCos (x ^ 2). Use a regra do produto para descobrir que a derivada de xSin (x) é xCos (x) + Sin (x). Usando tabelas e regras simples, você pode encontrar a derivada de qualquer função. Mas quando uma função é extremamente complexa, os cientistas às vezes recorrem a programas de computador para obter ajuda.