Em matemática, às vezes surge a necessidade de provar se as funções são dependentes ou independentes umas das outras em um sentido linear. Se você tiver duas funções que são dependentes lineares, representar graficamente as equações dessas funções resulta em pontos que se sobrepõem. Funções com equações independentes não se sobrepõem quando representadas graficamente. Um método para determinar se as funções são dependentes ou independentes é calcular o Wronskian para as funções.
O que é um Wronskian?
O Wronskian de duas ou mais funções é conhecido como determinante, uma função especial usada para comparar objetos matemáticos e provar certos fatos sobre eles. No caso do Wronskian, o determinante é usado para provar a dependência ou independência entre duas ou mais funções lineares.
The Wronskian Matrix
Para calcular o Wronskian para funções lineares, as funções precisam ser resolvidas para o mesmo valor dentro de uma matriz que contém as funções e suas derivadas. Um exemplo disso é
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
que fornece o Wronskian para duas funções (feg) que são resolvidos para um único valor maior que zero (t); você pode ver as duas funçõesf(t) eg(t) na linha superior da matriz e os derivadosf'(t) eg'(t) na linha inferior. Observe que o Wronskian também pode ser usado para conjuntos maiores. Se, por exemplo, você testar três funções com um Wronskian, então você pode preencher uma matriz com as funções e derivados def(t), g(t) eh(t).
Resolvendo o Wronskian
Depois de ter as funções organizadas em uma matriz, multiplique cada função em relação à derivada da outra função e subtraia o primeiro valor do segundo. Para o exemplo acima, isso dá a você
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Se a resposta final for igual a zero, isso mostra que as duas funções são dependentes. Se a resposta for diferente de zero, as funções são independentes.
Exemplo Wronskian
Para lhe dar uma ideia melhor de como isso funciona, suponha que
f (t) = x + 3 \ text {e} g (t) = x - 2
Usando um valor det= 1, você pode resolver as funções como
f (1) = 4 \ text {e} g (1) = -1
Como essas são funções lineares básicas com uma inclinação de 1, as derivadas de ambosf(t) eg(t) igual a 1. A multiplicação cruzada de seus valores dá a
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
que fornece um resultado final de 5. Embora as funções lineares tenham a mesma inclinação, elas são independentes porque seus pontos não se sobrepõem. Sef(t) tivesse produzido um resultado de -1 em vez de 4, o Wronskian teria dado um resultado de zero em vez de indicar dependência.