Equações quadráticas são fórmulas que podem ser escritas na forma Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Às vezes, uma equação quadrática pode ser simplificada fatorando ou expressando a equação como um produto de termos separados. Isso pode tornar a equação mais fácil de resolver. Os fatores às vezes podem ser difíceis de identificar, mas existem truques que podem tornar o processo mais fácil.
Reduza a equação pelo maior fator comum
Examine a equação quadrática para determinar se há um número e / ou variável que pode dividir cada termo da equação. Por exemplo, considere a equação 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. O maior número que pode ser dividido igualmente em cada termo da equação é 2, então 2 é o maior fator comum (GCF).
Divida cada termo da equação pelo GCF e multiplique toda a equação pelo GCF. Na equação de exemplo 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, isso resultaria em 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).
Simplifique a expressão completando a divisão em cada termo. Não deve haver frações na equação final. No exemplo, isso resultaria em 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.
Procure a diferença dos quadrados (se B = 0)
Examine a equação quadrática para ver se ela está na forma Ax ^ 2 + 0x - C = 0, onde A = y ^ 2 e C = z ^ 2. Se for esse o caso, a equação quadrática está expressando a diferença de dois quadrados. Por exemplo, na equação 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 e C = 9 = 3 ^ 2, então y = 2 e z = 3.
Fatore a equação na forma (yx + z) (yx - z) = 0. Na equação de exemplo, y = 2 e z = 3; portanto, a equação quadrática fatorada é (2x + 3) (2x - 3) = 0. Essa sempre será a forma fatorada de uma equação quadrática que é a diferença de quadrados.
Procure por quadrados perfeitos
Examine a equação quadrática para ver se é um quadrado perfeito. Se a equação quadrática for um quadrado perfeito, ela pode ser escrita na forma y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, como a equação 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, que pode ser reescrita como (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. Nesse caso, y = 2x e z = 3.
Verifique se o termo 2yz é positivo. Se o termo for positivo, os fatores da equação quadrática quadrática perfeita são sempre (y + z) (y + z). Por exemplo, na equação acima, 12x é positivo, portanto, os fatores são (2x + 3) (2x + 3) = 0.
Verifique se o termo 2yz é negativo. Se o termo for negativo, os fatores são sempre (y - z) (y - z). Por exemplo, se a equação acima tivesse o termo -12x em vez de 12x, os fatores seriam (2x - 3) (2x - 3) = 0.
Método de multiplicação reversa FOIL (se A = 1)
Configure a forma fatorada da equação quadrática escrevendo (vx + w) (yx + z) = 0. Lembre-se das regras para a multiplicação FOIL (Primeiro, Fora, Dentro, Último). Como o primeiro termo da equação quadrática é Ax ^ 2, ambos os fatores da equação devem incluir um x.
Resolva para vey considerando todos os fatores de A na equação quadrática. Se A = 1, então v e y sempre serão 1. Na equação de exemplo x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, então vey podem ser resolvidos na equação fatorada para obter (1x + w) (1x + z) = 0.
Determine se w e z são positivos ou negativos. As seguintes regras se aplicam: C = positivo e B = positivo; ambos os fatores têm um sinal + C = positivo e B = negativo; ambos os fatores têm um - sinal C = negativo e B = positivo; o fator de maior valor possui um sinal + C = negativo e B = negativo; o fator com o maior valor tem um sinal - Na equação de exemplo da Etapa 2, B = -9 e C = +8, então ambos os fatores da equação terão - sinais, e a equação fatorada pode ser escrita como (1x - w) (1x - z) = 0.
Faça uma lista de todos os fatores de C para encontrar os valores de w e z. No exemplo acima, C = 8, então os fatores são 1 e 8, 2 e 4, -1 e -8 e -2 e -4. Os fatores devem somar B, que é -9 na equação de exemplo, então w = -1 e z = -8 (ou vice-versa) e nossa equação é totalmente fatorada como (1x - 1) (1x - 8) = 0
Método de caixa (se A não = 1)
Reduza a equação à sua forma mais simples, usando o método do maior fator comum listado acima. Por exemplo, na equação 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, o GCF é 9, então a equação é simplificada para 9 (x ^ 2 + 3x - 10).
Desenhe uma caixa e divida-a em uma tabela com duas linhas e duas colunas. Coloque Ax ^ 2 da equação simplificada na linha 1, coluna 1, e C da equação simplificada na linha 2, coluna 2.
Multiplique A por C e encontre todos os fatores do produto. No exemplo acima, A = 1 e C = -10, então o produto é (1) (- 10) = -10. Os fatores de -10 são -1 e 10, -2 e 5, 1 e -10 e 2 e -5.
Identifique quais dos fatores do produto AC somam B. No exemplo, B = 3. Os fatores de -10 que somam 3 são -2 e 5.
Multiplique cada um dos fatores identificados por x. No exemplo acima, isso resultaria em -2x e 5x. Coloque esses dois novos termos nos dois espaços vazios do gráfico, de modo que a tabela fique assim:
x ^ 2 | 5x
-2x | -10
Encontre o GCF para cada linha e coluna da caixa. No exemplo, o CGF para a linha superior é x e para a linha inferior é -2. O GCF para a primeira coluna é x e para a segunda coluna é 5.
Escreva a equação fatorada na forma (w + v) (y + z) usando os fatores identificados nas linhas do gráfico para w e v, e os fatores identificados nas colunas do gráfico para y e z. Se a equação foi simplificada na Etapa 1, lembre-se de incluir o GCF da equação na expressão fatorada. No caso do exemplo, a equação fatorada será 9 (x - 2) (x + 5) = 0.
Pontas
Certifique-se de que a equação esteja na forma quadrática padrão antes de iniciar qualquer um dos métodos descritos.
Nem sempre é fácil identificar um quadrado perfeito ou diferença de quadrados. Se você puder ver rapidamente que a equação quadrática que está tentando fatorar está em uma dessas formas, isso pode ser de grande ajuda. No entanto, não perca muito tempo tentando descobrir isso, pois os outros métodos podem ser mais rápidos.
Sempre verifique seu trabalho multiplicando os fatores usando o método FOIL. Os fatores devem sempre se multiplicar de volta à equação quadrática original.