Antes de começar a simplificar ou manipular expressões racionais, reserve um momento para revisar o que a própria expressão racional é: Uma fração com um polinômio no numerador e no denominador. Ou, dito de outra forma, uma proporção de um polinômio para outro. Depois de identificar uma expressão racional, o processo de simplificação se resume em três etapas.
As etapas para simplificar expressões racionais
O processo para simplificar funções racionais segue um roteiro bastante simples. A primeira coisa que você deve fazer é combinar termos semelhantes, se ainda não o fez, para ajudá-lo a ver os polinômios claramente.
Em seguida, fatorar cada polinômio. Às vezes, tudo o que você precisa fazer é escrever todos os termos. Por exemplo, é claro que 4x (que na verdade é um polinômio, embora tenha apenas um termo) tem dois fatores: 4 e x. Mas, com polinômios mais complicados, sua melhor ferramenta geralmente é reconhecer padrões para tipos específicos de polinômios que você já aprendeu. Por exemplo, se você estiver prestando muita atenção às suas fórmulas, deve se lembrar que um polinômio da forma
uma2 - b2 fatores para (a + b) (a - b).Depois que seus polinômios estiverem totalmente fatorados, a última etapa é cancelar todos os fatores comuns que aparecem no numerador e no denominador. O resultado é seu polinômio simplificado.
Pontas
E se os polinômios em sua expressão racional não estiverem em uma forma que você saiba como fatorar facilmente? Existem outras técnicas que você pode usar para fatorá-los, como completar o quadrado ou usar a fórmula quadrática.
Um aviso sobre o denominador
Você pode não se surpreender ao saber que há um pequeno problema aqui. Normalmente, o domínio (ou conjunto de possíveis x valores) para sua expressão racional são considerados o conjunto de todos os números reais. Mas se acontecer alguma coisa para tornar o denominador de sua fração zero, o resultado será uma fração indefinida.
O que tornaria o seu denominador zero? Normalmente, basta um pequeno exame para descobrir. Por exemplo, se o denominador de sua fração foi reduzido aos fatores (x + 2) (x - 2), então o valor x = -2 tornaria o primeiro fator igual a zero, e x = 2 tornaria o segundo fator igual a zero.
Portanto, ambos os valores, -2 e 2, devem ser excluídos do domínio de sua expressão racional. Normalmente, você notará isso com o sinal "diferente" ou ≠. Por exemplo, se você precisar excluir -2 e 2 do domínio, você escreveria x ≠ -2, 2.
Simplificando Expressões Racionais: Exemplos
Agora que você entende o processo de simplificação de expressões racionais, é hora de ver alguns exemplos.
Exemplo 1: Simplifique a expressão racional (x2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Não há termos semelhantes para combinar aqui, portanto, você pode pular a primeira etapa. Em seguida, com seus olhos atentos e um pouco de prática, você pode perceber que o numerador e o denominador são facilmente fatorados:
(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Talvez você também observe que (x + 2) é um fator tanto no numerador quanto no denominador. Depois de cancelar o fator compartilhado, você terá:
(x - 2) / (x + 2)
Você simplificou sua expressão racional o máximo que pode, mas há mais uma coisa a fazer: Identificar quaisquer "zeros" ou raízes que resultariam em uma fração indefinida, então você pode excluí-los do domínio. Neste caso, é fácil ver examinando que quando x = -2, o fator na parte inferior será igual a zero. Portanto, sua expressão racional simplificada é na verdade:
(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2
Exemplo 2: Simplifique a expressão racional x / (x2 - 4x)
Não há termos semelhantes para combinar, então você pode ir direto para a fatoração por meio de exame. Não é muito difícil perceber que você pode fatorar um x fora do prazo final, o que lhe dá:
x / x (x - 4)
Você pode cancelar o x fator do numerador e do denominador, o que deixa você com:
1 / (x - 4)
Agora sua expressão racional está simplificada, mas você também precisa observar qualquer x valores que resultariam em uma fração indefinida. Nesse caso, x = 4 retornaria um valor zero no denominador. Portanto, sua resposta é:
1 / (x - 4), x ≠ 4