Como simplificar expressões racionais: passo a passo

Antes de começar a simplificar ou manipular expressões racionais, reserve um momento para revisar o que a própria expressão racional é: Uma fração com um polinômio no numerador e no denominador. Ou, dito de outra forma, uma proporção de um polinômio para outro. Depois de identificar uma expressão racional, o processo de simplificação se resume em três etapas.

As etapas para simplificar expressões racionais

O processo para simplificar funções racionais segue um roteiro bastante simples. A primeira coisa que você deve fazer é combinar termos semelhantes, se ainda não o fez, para ajudá-lo a ver os polinômios claramente.

Em seguida, fatorar cada polinômio. Às vezes, tudo o que você precisa fazer é escrever todos os termos. Por exemplo, é claro que 4x (que na verdade é um polinômio, embora tenha apenas um termo) tem dois fatores: 4 e x. Mas, com polinômios mais complicados, sua melhor ferramenta geralmente é reconhecer padrões para tipos específicos de polinômios que você já aprendeu. Por exemplo, se você estiver prestando muita atenção às suas fórmulas, deve se lembrar que um polinômio da forma

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uma2 - b2 fatores para (a + b) (a - b).

Depois que seus polinômios estiverem totalmente fatorados, a última etapa é cancelar todos os fatores comuns que aparecem no numerador e no denominador. O resultado é seu polinômio simplificado.

Pontas

  • E se os polinômios em sua expressão racional não estiverem em uma forma que você saiba como fatorar facilmente? Existem outras técnicas que você pode usar para fatorá-los, como completar o quadrado ou usar a fórmula quadrática.

Um aviso sobre o denominador

Você pode não se surpreender ao saber que há um pequeno problema aqui. Normalmente, o domínio (ou conjunto de possíveis x valores) para sua expressão racional são considerados o conjunto de todos os números reais. Mas se acontecer alguma coisa para tornar o denominador de sua fração zero, o resultado será uma fração indefinida.

O que tornaria o seu denominador zero? Normalmente, basta um pequeno exame para descobrir. Por exemplo, se o denominador de sua fração foi reduzido aos fatores (x + 2) (x - 2), então o valor x = -2 tornaria o primeiro fator igual a zero, e x = 2 tornaria o segundo fator igual a zero.

Portanto, ambos os valores, -2 e 2, devem ser excluídos do domínio de sua expressão racional. Normalmente, você notará isso com o sinal "diferente" ou ≠. Por exemplo, se você precisar excluir -2 e 2 do domínio, você escreveria x ≠ -2, 2.

Simplificando Expressões Racionais: Exemplos

Agora que você entende o processo de simplificação de expressões racionais, é hora de ver alguns exemplos.

Exemplo 1: Simplifique a expressão racional (x2 - 4) / (x2+ 4x + 4)

Não há termos semelhantes para combinar aqui, portanto, você pode pular a primeira etapa. Em seguida, com seus olhos atentos e um pouco de prática, você pode perceber que o numerador e o denominador são facilmente fatorados:

(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)

Talvez você também observe que (x + 2) é um fator tanto no numerador quanto no denominador. Depois de cancelar o fator compartilhado, você terá:

(x - 2) / (x + 2)

Você simplificou sua expressão racional o máximo que pode, mas há mais uma coisa a fazer: Identificar quaisquer "zeros" ou raízes que resultariam em uma fração indefinida, então você pode excluí-los do domínio. Neste caso, é fácil ver examinando que quando x = -2, o fator na parte inferior será igual a zero. Portanto, sua expressão racional simplificada é na verdade:

(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2

Exemplo 2: Simplifique a expressão racional x / (x2 - 4x)

Não há termos semelhantes para combinar, então você pode ir direto para a fatoração por meio de exame. Não é muito difícil perceber que você pode fatorar um x fora do prazo final, o que lhe dá:

x / x (x - 4)

Você pode cancelar o x fator do numerador e do denominador, o que deixa você com:

1 / (x - 4)

Agora sua expressão racional está simplificada, mas você também precisa observar qualquer x valores que resultariam em uma fração indefinida. Nesse caso, x = 4 retornaria um valor zero no denominador. Portanto, sua resposta é:

1 / (x - 4), x ≠ 4

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