O que são números reais?

Os números reais são todos os números em uma reta numérica que se estende do infinito negativo até o infinito positivo. Esta construção do conjunto de números reais não é arbitrária, mas sim o resultado de uma evolução dos números naturais usados ​​para contagem. O sistema de números naturais tem várias inconsistências e, à medida que os cálculos se tornaram mais complexos, o sistema numérico se expandiu para lidar com suas limitações. Com os números reais, os cálculos fornecem resultados consistentes e há poucas exceções ou limitações como as que existiam nas versões mais primitivas do sistema numérico.

TL; DR (muito longo; Não li)

O conjunto de números reais consiste em todos os números em uma reta numérica. Isso inclui números naturais, números inteiros, inteiros, números racionais e números irracionais. Não inclui números imaginários ou números complexos.

O fechamento é propriedade de um conjunto de números, o que significa que se os cálculos permitidos forem realizados em números que são membros do conjunto, as respostas também serão números que são membros do conjunto. O conjunto está fechado.

Os números naturais são os números de contagem, 1, 2, 3..., e o conjunto de números naturais não é fechado. Como os números naturais eram usados ​​no comércio, dois problemas surgiram imediatamente. Embora os números naturais contassem objetos reais, por exemplo vacas, se um fazendeiro tivesse cinco vacas e vendesse cinco vacas, não haveria número natural para o resultado. Os primeiros sistemas numéricos desenvolveram muito rapidamente um termo zero para tratar desse problema. O resultado foi o sistema de números inteiros, que são os números naturais mais zero.

O segundo problema também estava associado à subtração. Enquanto os números contassem objetos reais, como vacas, o fazendeiro não poderia vender mais vacas do que tinha. Mas quando os números se tornaram abstratos, subtrair os números maiores dos menores deu respostas fora do sistema de números inteiros. Como resultado, foram introduzidos os inteiros, que são os números inteiros mais os números naturais negativos. O sistema numérico agora incluía uma reta numérica completa, mas apenas com inteiros.

Os cálculos em um sistema numérico fechado devem dar respostas de dentro do sistema numérico para operações como adição e multiplicação, mas também para suas operações inversas, subtração e divisão. O sistema de inteiros é fechado para adição, subtração e multiplicação, mas não para divisão. Se um inteiro for dividido por outro inteiro, o resultado nem sempre será um inteiro.

Dividir um pequeno inteiro por um maior resulta em uma fração. Essas frações foram adicionadas ao sistema numérico como números racionais. Os números racionais são definidos como qualquer número que pode ser expresso como uma proporção de dois inteiros. Qualquer número decimal arbitrário pode ser expresso como um número racional. Por exemplo, 2,864 é 2864/1000 e 0,89632 é 89632 / 100.000. A linha numérica agora parecia estar completa.

Existem números na reta numérica que não podem ser expressos como uma fração de inteiros. Um é a razão entre os lados de um triângulo retângulo e a hipotenusa. Se dois dos lados de um triângulo retângulo são 1 e 1, a hipotenusa é a raiz quadrada de 2. A raiz quadrada de dois é um decimal infinito que não se repete. Esses números são chamados de irracionais e incluem todos os números reais que não são racionais. Com esta definição, a reta numérica de todos os números reais é completa porque qualquer outro número real que não seja racional é incluído na definição de irracional.

Embora se diga que a reta numérica real se estende do infinito negativo ao positivo, o infinito em si não é um número real, mas sim um conceito do sistema numérico que o define como sendo uma quantidade maior do que qualquer número. Matematicamente, infinito é a resposta para 1 / x quando x chega a zero, mas a divisão por zero não é definida. Se o infinito fosse um número, isso levaria a contradições, porque o infinito não segue as leis da aritmética. Por exemplo, infinito mais 1 ainda é infinito.

O conjunto de números reais é fechado para adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto para divisão por zero, que não é definida. O conjunto não é fechado para pelo menos uma outra operação.

As regras de multiplicação no conjunto de números reais especificam que a multiplicação de um negativo e um o número positivo dá um número negativo, enquanto a multiplicação de números positivos ou negativos dá um número positivo respostas. Isso significa que o caso especial de multiplicar um número por si mesmo produz um número positivo para números positivos e negativos. O inverso desse caso especial é a raiz quadrada de um número positivo, dando uma resposta positiva e uma negativa. Para a raiz quadrada de um número negativo, não há resposta no conjunto de números reais.

O conceito de conjunto de números imaginários aborda a questão das raízes quadradas negativas nos números reais. A raiz quadrada de menos 1 é definida como ie todos os números imaginários são múltiplos de i. Para completar a teoria dos números, o conjunto de números complexos é definido como incluindo todos os números reais e todos os imaginários. Os números reais podem continuar a ser visualizados em uma linha numérica horizontal, enquanto os números imaginários são uma linha numérica vertical, com os dois se cruzando em zero. Os números complexos são pontos no plano das duas retas numéricas, cada uma com um componente real e um imaginário.