Dicas para resolver equações quadráticas

Todo estudante de álgebra em níveis superiores precisa aprender a resolver equações quadráticas. Estes são um tipo de equação polinomial que inclui uma potência de 2, mas nenhuma superior, e eles têm a forma geral:machado2 + ​bx​ + ​c= 0. Você pode resolvê-los usando a fórmula da equação quadrática, fatorando ou completando o quadrado.

TL; DR (muito longo; Não li)

Primeiro, procure uma fatoração para resolver a equação. Se não houver um, mas obcoeficiente é divisível por 2, complete o quadrado. Se nenhuma das abordagens for fácil, use a fórmula da equação quadrática.

Usando Fatoração para Resolver a Equação

A fatoração explora o fato de que o lado direito da equação quadrática padrão é igual a zero. Isso significa que, se você puder dividir a equação em dois termos entre colchetes multiplicados um pelo outro, poderá calcular as soluções pensando no que tornaria cada colchete igual a zero. Para dar um exemplo concreto:

x ^ 2 + 6x + 9 = 0

Compare isso com o formulário padrão:

ax ^ 2 + bx + c = 0

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No exemplo,uma​ = 1, ​b= 6 ec= 9. O desafio da fatoração é encontrar dois números que se somam para dar o número nobidentifique e multiplique para obter o número no lugar parac​.

Portanto, representando os números pordee, você está procurando números que satisfaçam:

d + e = b

Ou, neste caso, comb​ = 6:

d + e = 6

E

d × e = c

Ou, neste caso, comc​ = 9:

d × e = 9

Concentre-se em encontrar números que sejam fatores dece, em seguida, adicione-os para ver se eles são iguaisb. Quando tiver seus números, coloque-os no seguinte formato:

(x + d) (x + e)

No exemplo acima, ambosdeesão 3:

x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0

Se você multiplicar os colchetes, você terminará com a expressão original novamente, e esta é uma boa prática para verificar sua fatoração. Você pode executar esse processo (multiplicando a primeira, a interna, a externa e a última parte dos colchetes, por sua vez - consulte Recursos para obter mais detalhes) para vê-lo ao contrário:

\ begin {alinhado} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {alinhado}

A fatoração efetivamente percorre este processo ao contrário, mas pode ser desafiador trabalhar o maneira certa de fatorar a equação quadrática, e este método não é ideal para todas as equações quadráticas para este razão. Freqüentemente, você tem que adivinhar uma fatoração e depois verificá-la.

O problema agora é fazer com que qualquer uma das expressões entre colchetes seja igual a zero por meio de sua escolha de valor parax. Se qualquer um dos colchetes for igual a zero, toda a equação será igual a zero e você encontrará uma solução. Olhe para a última etapa [(x​ + 3) (​x+ 3) = 0] e você verá que a única vez que os colchetes chegam a zero é sex= −3. Na maioria dos casos, porém, as equações quadráticas têm duas soluções.

A fatoração é ainda mais desafiadora seumanão é igual a um, mas focar em casos simples é melhor no início.

Completando o Quadrado para Resolver a Equação

Completar o quadrado ajuda a resolver equações quadráticas que não podem ser fatoradas facilmente. Esse método pode funcionar para qualquer equação quadrática, mas algumas equações são mais adequadas a ele do que outras. A abordagem envolve transformar a expressão em um quadrado perfeito e resolver isso. Um quadrado perfeito genérico se expande assim:

(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2

Para resolver uma equação quadrática completando o quadrado, coloque a expressão na forma do lado direito do acima. Primeiro divida o número nobposição por 2 e, em seguida, eleve o resultado. Então, para a equação:

x ^ 2 + 8x = 0

O coeficienteb= 8, entãob÷ 2 = 4 e (b​ ÷ 2)2 = 16.

Adicione isso a ambos os lados para obter:

x ^ 2 + 8x + 16 = 16

Observe que esta forma corresponde à forma quadrada perfeita, comd= 4, então 2d= 8 ed2 = 16. Isso significa que:

x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2

Insira isso na equação anterior para obter:

(x + 4) ^ 2 = 16

Agora resolva a equação parax. Tire a raiz quadrada de ambos os lados para obter:

x + 4 = \ sqrt {16}

Subtraia 4 de ambos os lados para obter:

x = \ sqrt {16} - 4

A raiz pode ser positiva ou negativa, e tirar a raiz negativa dá:

x = -4 - 4 = -8

Encontre a outra solução com a raiz positiva:

x = 4 - 4 = 0

Portanto, a única solução diferente de zero é −8. Verifique isso com a expressão original para confirmar.

Usando a fórmula quadrática para resolver a equação

A fórmula da equação quadrática parece mais complicada do que os outros métodos, mas é o método mais confiável e você pode usá-lo em qualquer equação quadrática. A equação usa os símbolos da equação quadrática padrão:

ax ^ 2 + bx + c = 0

E afirma que:

x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}

Insira os números apropriados em seus lugares e trabalhe com a fórmula para resolver, lembrando-se de tentar subtrair e adicionar o termo da raiz quadrada e anotar as duas respostas. Para o seguinte exemplo:

x ^ 2 + 6x + 5 = 0

Você temuma​ = 1, ​b= 6 ec= 5. Portanto, a fórmula dá:

\ begin {alinhado} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {alinhado}

Pegar o sinal positivo dá:

\ begin {alinhado} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {alinhado}

E pegar o sinal negativo dá:

\ begin {alinhado} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {alinhado}

Quais são as duas soluções para a equação.

Como determinar o melhor método para resolver equações quadráticas

Procure uma fatoração antes de tentar qualquer outra coisa. Se você conseguir identificar uma, esta é a maneira mais rápida e fácil de resolver uma equação quadrática. Lembre-se de que você está procurando dois números que somambcoeficiente e multiplique para dar occoeficiente. Para esta equação:

x ^ 2 + 5x + 6 = 0

Você pode perceber que 2 + 3 = 5 e 2 × 3 = 6, então:

x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0

Ex= -2 oux​ = −3.

Se você não consegue ver uma fatoração, verifique se obcoeficiente é divisível por 2 sem recorrer a frações. Se for, completar o quadrado é provavelmente a maneira mais fácil de resolver a equação.

Se nenhuma das abordagens parecer adequada, use a fórmula. Esta parece ser a abordagem mais difícil, mas se você estiver em um exame ou com pressa, pode tornar o processo muito menos estressante e muito mais rápido.

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