Uma distribuição binomial descreve uma variável X se 1) há um número fixo n observações da variável; 2) todas as observações são independentes umas das outras; 3) a probabilidade de sucesso p é o mesmo para cada observação; e 4) cada observação representa um de exatamente dois resultados possíveis (daí a palavra "binomial" - pense em "binário"). Esta última qualificação distingue as distribuições binomiais das distribuições de Poisson, que variam continuamente em vez de discretamente.
Essa distribuição pode ser escrita B(n, p).
Calculando a probabilidade de uma dada observação
Diga um valor k encontra-se em algum lugar ao longo do gráfico da distribuição binomial, que é simétrica em relação à média np. Para calcular a probabilidade de uma observação ter este valor, esta equação deve ser resolvida:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
Onde
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
O "!" significa uma função fatorial, por exemplo, 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Exemplo
Digamos que um jogador de basquete faça 24 lances livres e tenha uma taxa de sucesso estabelecida de 75 por cento (
Primeiro calcule (n: k) do seguinte modo:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10.626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Desse modo
P (20) = 10.626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Este jogador, portanto, tem 13,1 por cento de chance de acertar exatamente 20 dos 24 lances livres, de acordo com o que a intuição pode sugira sobre um jogador que normalmente acertaria 18 dos 24 lances livres (por causa de sua taxa de sucesso estabelecida de 75 por cento).