Em matemática, uma sequência é qualquer sequência de números organizados em ordem crescente ou decrescente. Uma seqüência se torna uma seqüência geométrica quando você pode obter cada número multiplicando o número anterior por um fator comum. Por exemplo, a série 1, 2, 4, 8, 16... é uma sequência geométrica com o fator comum 2. Se você multiplicar qualquer número na série por 2, obterá o próximo número. Em contraste, a sequência 2, 3, 5, 8, 14, 22... não é geométrico porque não existe um fator comum entre os números. Uma sequência geométrica pode ter um fator comum fracionário, caso em que cada número sucessivo é menor que o anterior. 1, 1/2, 1/4, 1/8... é um exemplo. Seu fator comum é 1/2.
O fato de uma sequência geométrica ter um fator comum permite que você faça duas coisas. O primeiro é calcular qualquer elemento aleatório na sequência (que os matemáticos gostam de chamar de "no "elemento), e a segunda é encontrar a soma da sequência geométrica até ono elemento. Quando você soma a sequência colocando um sinal de mais entre cada par de termos, você transforma a sequência em uma série geométrica.
Encontrando o enésimo elemento em uma série geométrica
Em geral, você pode representar qualquer série geométrica da seguinte maneira:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
Onde "uma"é o primeiro termo da série e"r"é o fator comum. Para verificar isso, considere a série em queuma= 1 er= 2. Você ganha 1 + 2 + 4 + 8 + 16... funciona!
Tendo estabelecido isso, agora é possível derivar uma fórmula para o enésimo termo na sequência (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
O expoente én- 1 em vez denpara permitir que o primeiro termo na sequência seja escrito comoar0, que é igual a "uma."
Verifique isso calculando o 4º termo na série de exemplos.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Calculando a soma de uma sequência geométrica
Se você quiser somar uma sequência divergente, que é aquela com uma proporção comum maior que 1 ou menor que -1, você só pode fazer isso até um número finito de termos. É possível calcular a soma de uma sequência convergente infinita, entretanto, que é aquela com uma razão comum entre 1 e -1.
Para desenvolver a fórmula da soma geométrica, comece considerando o que você está fazendo. Você está procurando o total da seguinte série de adições:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Cada termo da série éark, ekvai de 0 an− 1. A fórmula para a soma das séries faz uso do sinal sigma maiúsculo - ∑ - que significa adicionar todos os termos de (k= 0) a (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Para verificar isso, considere a soma dos primeiros 4 termos da série geométrica começando em 1 e tendo um fator comum de 2. Na fórmula acima,uma = 1, r= 2 en= 4. Conectando esses valores, você obtém:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Isso é fácil de verificar adicionando você mesmo os números da série. Na verdade, quando você precisa da soma de uma série geométrica, geralmente é mais fácil adicionar os números você mesmo quando há apenas alguns termos. Se a série tiver um grande número de termos, porém, é muito mais fácil usar a fórmula da soma geométrica.