Fórmula para o volume de um octógono

Em geometria, um octógono é um polígono com oito lados. Um octógono regular tem oito lados iguais e ângulos iguais. O octógono regular é comumente reconhecido pelos sinais de parada. Um octaedro é um poliedro de oito lados. Um octaedro regular possui oito triângulos com arestas de igual comprimento. Na verdade, são duas pirâmides quadradas que se encontram em suas bases.

A fórmula para a área de um octógono regular com lados de comprimento "a" é 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, onde "sqrt" indica a raiz quadrada.

Um octógono pode ser visto como 4 retângulos, um quadrado no centro e quatro triângulos isósceles nos cantos.

O quadrado tem uma área a ^ 2.

Os triângulos têm lados a, a / sqrt (2) e a / sqrt (2), pelo teorema de Pitágoras. Portanto, cada um tem uma área de ^ 2/4.

Os retângulos são de área a * a / sqrt (2).

A soma dessas 9 áreas é 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).

A fórmula para o volume de um octaedro regular de lados "a" é a ^ 3 * sqrt (2) / 3.

A área de uma pirâmide de quatro lados é a área da base * altura / 3. A área de um octógono regular é, portanto, 2 * base * altura / 3.

Base = a ^ 2 trivialmente.

Escolha dois vértices adjacentes, diga "F" e "C". "O" está no centro. FOC é um triângulo retângulo isósceles com base "a", então OC e OF têm comprimento a / sqrt (2) pelo teorema de Pitágoras. Portanto, altura = a / sqrt (2).

Portanto, o volume de um octaedro regular é 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.

A superfície do octaedro regular é a área de um triângulo equilátero de lado "a" vezes 8 faces.

Para usar o teorema de Pitágoras, coloque uma linha do vértice até a base. Isso cria dois triângulos retângulos, com a hipotenusa de comprimento "a" e um lado de comprimento "a / 2". Portanto, o terceiro lado deve ser sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. Portanto, a área de um triângulo equilátero é altura * base / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.

Com 8 lados, a área de superfície de um octaedro regular é 2 * sqrt (3) * a ^ 2.