Como calcular uma cofunção

Você já se perguntou como as funções trigonométricas como seno e cosseno estão relacionadas? Ambos são usados ​​para calcular lados e ângulos em triângulos, mas a relação vai além disso.Identidades de cofunçãofornecem-nos fórmulas específicas que mostram como converter entre seno e cosseno, tangente e cotangente e secante e cossecante.

TL; DR (muito longo; Não li)

O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento e vice-versa. Isso também é válido para outras co-funções.

Uma maneira fácil de lembrar quais funções são co-funções é que duas funções trigonométricas sãocofunçõesse um deles tiver o prefixo "co-" na frente dele. Então:

  • seno ecoseno sãocofunções.
  • tangente ecotangente sãocofunções.
  • secante ecosecantes sãocofunções.

Podemos calcular o vaivém entre as co-funções usando esta definição: O valor de uma função de um ângulo é igual ao valor da co-função do complemento.

Isso parece complicado, mas em vez de falar sobre o valor de uma função em geral, vamos usar um exemplo específico. O

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senode um ângulo é igual acossenode seu complemento. E o mesmo vale para outras co-funções: a tangente de um ângulo é igual à cotangente de seu complemento.

Lembre-se: dois ângulos sãocomplementosse somarem 90 graus.

Identidades de cofunção em graus:

(Observe que 90 ° -xnos dá o complemento de um ângulo.)

\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ cot (90 ° - x) \\ \ cot (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)

Identidades de cofunção em radianos

Lembre-se de que também podemos escrever coisas em termos deradianos, que é a unidade SI para medir ângulos. Noventa graus é o mesmo que π / 2 radianos, portanto, também podemos escrever as identidades de cofunção assim:

\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)

Prova de Identidades de Cofunção

Tudo isso parece bom, mas como podemos provar que isso é verdade? Testar você mesmo em alguns triângulos de exemplo pode ajudá-lo a se sentir confiante sobre isso, mas também há uma prova algébrica mais rigorosa. Vamos provar as identidades de cofunção para seno e cosseno. Vamos trabalhar em radianos, mas é o mesmo que usar graus.

Prova:

\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)

Em primeiro lugar, volte em sua memória a esta fórmula, porque vamos usá-la em nossa prova:

\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)

Entendi? OK. Agora vamos provar: pecado (x) = cos (π / 2 - x).

Podemos reescrever cos (π / 2 -x) como isso:

\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)

porque sabemos

\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {e} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1

Então

\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)

Ta-da! Agora vamos provar isso com cosseno!

Prova:

\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)

Outra explosão do passado: lembra desta fórmula?

\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)

Estamos prestes a usá-lo. Agora vamos provar:

\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)

Podemos reescrever pecado (π / 2 -x) como isso:

\ begin {alinhados} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {alinhado}

porque sabemos

\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {e} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1

Então nós temos

\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)

Calculadora de cofunções

Experimente alguns exemplos trabalhando com co-funções por conta própria. Mas se você tiver dúvidas, o Math Celebrity tem uma calculadora de cofunções que mostra soluções passo a passo para problemas de funções.

Bom cálculo!

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