Você já se perguntou como as funções trigonométricas como seno e cosseno estão relacionadas? Ambos são usados para calcular lados e ângulos em triângulos, mas a relação vai além disso.Identidades de cofunçãofornecem-nos fórmulas específicas que mostram como converter entre seno e cosseno, tangente e cotangente e secante e cossecante.
TL; DR (muito longo; Não li)
O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento e vice-versa. Isso também é válido para outras co-funções.
Uma maneira fácil de lembrar quais funções são co-funções é que duas funções trigonométricas sãocofunçõesse um deles tiver o prefixo "co-" na frente dele. Então:
- seno ecoseno sãocofunções.
- tangente ecotangente sãocofunções.
- secante ecosecantes sãocofunções.
Podemos calcular o vaivém entre as co-funções usando esta definição: O valor de uma função de um ângulo é igual ao valor da co-função do complemento.
Isso parece complicado, mas em vez de falar sobre o valor de uma função em geral, vamos usar um exemplo específico. O
senode um ângulo é igual acossenode seu complemento. E o mesmo vale para outras co-funções: a tangente de um ângulo é igual à cotangente de seu complemento.Lembre-se: dois ângulos sãocomplementosse somarem 90 graus.
Identidades de cofunção em graus:
(Observe que 90 ° -xnos dá o complemento de um ângulo.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ cot (90 ° - x) \\ \ cot (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Identidades de cofunção em radianos
Lembre-se de que também podemos escrever coisas em termos deradianos, que é a unidade SI para medir ângulos. Noventa graus é o mesmo que π / 2 radianos, portanto, também podemos escrever as identidades de cofunção assim:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Prova de Identidades de Cofunção
Tudo isso parece bom, mas como podemos provar que isso é verdade? Testar você mesmo em alguns triângulos de exemplo pode ajudá-lo a se sentir confiante sobre isso, mas também há uma prova algébrica mais rigorosa. Vamos provar as identidades de cofunção para seno e cosseno. Vamos trabalhar em radianos, mas é o mesmo que usar graus.
Prova:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Em primeiro lugar, volte em sua memória a esta fórmula, porque vamos usá-la em nossa prova:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Entendi? OK. Agora vamos provar: pecado (x) = cos (π / 2 - x).
Podemos reescrever cos (π / 2 -x) como isso:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
porque sabemos
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {e} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Então
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Agora vamos provar isso com cosseno!
Prova:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Outra explosão do passado: lembra desta fórmula?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Estamos prestes a usá-lo. Agora vamos provar:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Podemos reescrever pecado (π / 2 -x) como isso:
\ begin {alinhados} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {alinhado}
porque sabemos
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {e} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Então nós temos
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Calculadora de cofunções
Experimente alguns exemplos trabalhando com co-funções por conta própria. Mas se você tiver dúvidas, o Math Celebrity tem uma calculadora de cofunções que mostra soluções passo a passo para problemas de funções.
Bom cálculo!