Um polígono é qualquer figura bidimensional fechada com 3 ou mais lados retos (não curvos), e um polígono de 12 lados é conhecido como dodecágono. Um dodecágono regular é aquele com lados e ângulos iguais e é possível derivar uma fórmula para calcular sua área. Um dodecágono irregular tem lados de comprimentos e ângulos diferentes. Uma estrela de seis pontas é um exemplo. Não existe uma maneira fácil de calcular a área de uma figura irregular de 12 lados, a menos que você a tenha traçado em um gráfico e possa ler as coordenadas de cada um dos vértices. Caso contrário, a melhor estratégia é dividir a figura em formas regulares para as quais você possa calcular a área.
Calculando a área de um polígono regular de 12 lados
Para calcular a área de um dodecágono regular, você deve encontrar seu centro, e a melhor maneira de fazer isso é traçar um círculo ao redor dele que apenas toque cada um de seus vértices. O centro do círculo é o centro do dodecágono, e a distância do centro da figura a cada um de seus vértices é simplesmente o raio do círculo (
Você precisa de mais uma medida, e esse é o comprimento de uma linha perpendicular desenhada do ponto médio de cada lado até o centro da forma de 12 lados. Essa linha é conhecida como apótema. Denote seu comprimento porm. Ele divide cada seção formada pelas linhas de raio em dois triângulos retângulos. Voce nao sabem, mas você pode encontrá-lo usando o teorema de Pitágoras.
As 12 linhas de raio dividem o círculo que você traçou ao redor do dodecágono em 12 seções iguais, portanto, no centro da figura, o ângulo que cada linha faz com a próxima a ela é de 30 graus. Cada uma das 12 seções formadas pelas linhas de raio é composta por um par de triângulos retângulos com hipotenusare um ângulo de 15 graus. O lado adjacente ao ângulo ém, então você pode encontrá-lo usando re o seno do ângulo.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {e resolva para} m \\ m = r × \ sin (15)
Agora você pode encontrar a área de cada um dos triângulos isósceles inscritos no dodecágono, porque você sabe o comprimento da base - que és- e a altura,m. A área de cada triângulo é
\ begin {alinhado} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {alinhado}
Existem 12 dessas seções, então multiplique por 12 para encontrar a área total da forma regular de 12 lados:
\ text {Área do dodecágono regular} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Encontrando a Área de um Dodecágono Irregular
Não existe uma fórmula para encontrar a área de um dodecágono irregular, uma vez que os comprimentos dos lados e os ângulos não são iguais. É até difícil localizar o centro. A melhor estratégia é dividir a figura em formas regulares, calcular a área de cada uma e somá-las.
Se a forma é traçada em um gráfico e você conhece as coordenadas dos vértices, existe uma fórmula que você pode usar para calcular a área. Se cada ponto (n) é definido por (xn, yn), e você contorna a figura em ordem, no sentido horário ou anti-horário, para obter uma série de 12 pontos, a área é:
\ text {Area} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}