Em matemática, um contra-exemplo é usado para refutar uma afirmação. Se você quiser provar que uma afirmação é verdadeira, você deve escrever uma prova para demonstrar que ela é sempre verdadeira; dar um exemplo não é suficiente. Comparado a escrever uma prova, escrever um contra-exemplo é muito mais simples; se quiser mostrar que uma afirmação não é verdadeira, basta fornecer um exemplo de cenário em que a afirmação é falsa. A maioria dos contra-exemplos em álgebra envolve manipulações numéricas.
Duas aulas de matemática
A redação de provas e a descoberta de contra-exemplos são duas das principais classes de matemática. A maioria dos matemáticos se concentra na redação de provas para desenvolver novos teoremas e propriedades. Quando afirmações ou conjecturas não podem ser provadas como verdadeiras, os matemáticos as refutam dando contra-exemplos.
Contra-exemplos são concretos
Em vez de usar variáveis e notações abstratas, você pode usar exemplos numéricos para refutar um argumento. Em álgebra, a maioria dos contra-exemplos envolvem manipulação usando diferentes números positivos e negativos ou ímpares e pares, casos extremos e números especiais como 0 e 1.
Um contra-exemplo é suficiente
A filosofia do contra-exemplo é que, se em um cenário a afirmação não for verdadeira, então a afirmação é falsa. Um exemplo não matemático é "Tom nunca disse uma mentira." Para mostrar que essa afirmação é verdadeira, você deve fornecer "prova" de que Tom nunca mentiu, rastreando todas as afirmações que Tom já fez. No entanto, para refutar essa afirmação, você só precisa mostrar uma mentira que Tom já disse.
Contra-exemplos famosos
"Todos os números primos são ímpares." Embora quase todos os números primos, incluindo todos os primos acima de 3, sejam ímpares, "2" é um número primo par; esta afirmação é falsa; "2" é o contra-exemplo relevante.
"A subtração é comutativa." Tanto a adição quanto a multiplicação são comutativas - podem ser realizadas em qualquer ordem. Ou seja, para quaisquer números reais aeb, a + b = b + a e a * b = b * a. No entanto, a subtração não é comutativa; um contra-exemplo provando isso é: 3 - 5 não é igual a 5 - 3.
"Cada função contínua é diferenciável." A função absoluta | x | é contínuo para todos os números positivos e negativos; mas não é diferenciável em x = 0; desde | x | é uma função contínua, este contra-exemplo prova que nem toda função contínua é diferenciável.