Imagine que você está manejando um canhão, com o objetivo de derrubar as paredes de um castelo inimigo para que seu exército possa invadir e reivindicar a vitória. Se você sabe a velocidade com que a bola se desloca ao sair do canhão e a que distância as paredes estão, em que ângulo de lançamento você precisa para disparar o canhão para atingir as paredes com sucesso?
Este é um exemplo de problema de movimento de projétil, e você pode resolver este e muitos problemas semelhantes usando as equações de aceleração constante da cinemática e alguma álgebra básica.
Movimento do projétilé como os físicos descrevem o movimento bidimensional, em que a única aceleração que o objeto em questão experimenta é a aceleração constante para baixo devido à gravidade.
Na superfície da Terra, a aceleração constanteumaé igual ag= 9,8 m / s2, e um objeto em movimento de projétil está emqueda livrecom isso como a única fonte de aceleração. Na maioria dos casos, ele seguirá o caminho de uma parábola, de modo que o movimento terá um componente horizontal e vertical. Embora tivesse um efeito (limitado) na vida real, felizmente a maioria dos problemas de movimento de projéteis de física do ensino médio ignora o efeito da resistência do ar.
Você pode resolver problemas de movimento de projéteis usando o valor dege algumas outras informações básicas sobre a situação em questão, como a velocidade inicial do projétil e a direção em que ele viaja. Aprender a resolver esses problemas é essencial para passar na maioria das aulas introdutórias de física e apresenta os conceitos e técnicas mais importantes de que você precisará em cursos posteriores.
Equações de movimento do projétil
As equações para o movimento do projétil são as equações de aceleração constante da cinemática, porque a aceleração da gravidade é a única fonte de aceleração que você precisa considerar. As quatro equações principais que você precisa para resolver qualquer problema de movimento de projéteis são:
v = v_0 + em \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} em ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Aqui,vsignifica velocidade,v0 é a velocidade inicial,umaé a aceleração (que é igual à aceleração para baixo degem todos os problemas de movimento de projéteis),sé o deslocamento (da posição inicial) e como sempre você tem tempo,t.
Essas equações são tecnicamente apenas para uma dimensão e realmente podem ser representadas por quantidades vetoriais (incluindo a velocidadev, velocidade inicialv0 e assim por diante), mas na prática você pode apenas usar essas versões separadamente, uma vez nox-direcção e uma vez noy-direcção (e se você já teve um problema tridimensional, noz-direcção também).
É importante lembrar que estes sãousado apenas para aceleração constante, o que os torna perfeitos para descrever situações em que a influência da gravidade é a única aceleração, mas inadequada para muitas situações do mundo real onde forças adicionais precisam ser considerado.
Para situações básicas, isso é tudo que você precisa para descrever o movimento de um objeto, mas se necessário, você pode incorporar outros fatores, como a altura de onde o projétil foi lançado ou mesmo resolvê-los para o ponto mais alto do projétil em sua caminho.
Resolvendo Problemas de Movimento de Projéteis
Agora que você viu as quatro versões da fórmula de movimento do projétil que precisará usar para resolver problemas, você pode começar a pensar sobre a estratégia que você usa para resolver um movimento de projétil problema.
A abordagem básica é dividir o problema em duas partes: uma para o movimento horizontal e outra para o movimento vertical. Isso é tecnicamente chamado de componente horizontal e componente vertical, e cada um tem um conjunto correspondente de quantidades, como a velocidade horizontal, velocidade vertical, deslocamento horizontal, deslocamento vertical e em breve.
Com esta abordagem, você pode usar as equações cinemáticas, observando que o tempoté o mesmo para os componentes horizontal e vertical, mas coisas como a velocidade inicial terão componentes diferentes para a velocidade vertical inicial e a velocidade horizontal inicial.
A coisa crucial a entender é que para o movimento bidimensional,algumângulo de movimento pode ser dividido em um componente horizontal e um componente vertical, mas quando você fizer isso, haverá uma versão horizontal da equação em questão e uma vertical versão.
Negligenciar os efeitos da resistência do ar simplifica enormemente os problemas de movimento do projétil porque a direção horizontal nunca tem aceleração em um problema de movimento de projétil (queda livre), uma vez que a influência da gravidade só atua verticalmente (ou seja, em direção à superfície do Terra).
Isso significa que o componente de velocidade horizontal é apenas uma velocidade constante, e o movimento só para quando a gravidade traz o projétil ao nível do solo. Isso pode ser usado para determinar o tempo de voo, porque é totalmente dependente doy- movimento de direção e pode ser trabalhado inteiramente com base no deslocamento vertical (ou seja, o tempotquando o deslocamento vertical é zero informa o tempo do vôo).
Trigonometria em problemas de movimento de projéteis
Se o problema em questão fornece um ângulo de lançamento e uma velocidade inicial, você precisará usar a trigonometria para encontrar os componentes de velocidade horizontal e vertical. Depois de fazer isso, você pode usar os métodos descritos na seção anterior para realmente resolver o problema.
Essencialmente, você cria um triângulo retângulo com a hipotenusa inclinada no ângulo de lançamento (θ) e a magnitude da velocidade como o comprimento, e então o lado adjacente é o componente horizontal da velocidade e o lado oposto é a velocidade vertical.
Desenhe o triângulo retângulo conforme direcionado, e você verá que encontrará os componentes horizontal e vertical usando as identidades trigonométricas:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {adjacente}} {\ text {hipotenusa}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {oposto}} {\ text {hipotenusa}}
Portanto, eles podem ser reorganizados (e com oposto =vy e adjacente =vx, ou seja, o componente de velocidade vertical e os componentes de velocidade horizontal, respectivamente, e hipotenusa =v0, a velocidade inicial) para dar:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sen (θ)
Esta é toda a trigonometria que você precisa fazer para resolver os problemas de movimento do projétil: conectar o ângulo de lançamento no equação, usando as funções seno e cosseno em sua calculadora e multiplicando o resultado pela velocidade inicial do projétil.
Então, para dar um exemplo de como fazer isso, com uma velocidade inicial de 20 m / se um ângulo de lançamento de 60 graus, os componentes são:
\ begin {alinhado} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17,32 \; \ text {m / s} \ end {alinhado}
Exemplo de problema de movimento de projétil: um fogo de artifício explodindo
Imagine que um fogo de artifício tenha um fusível projetado para explodir no ponto mais alto de sua trajetória e seja lançado com uma velocidade inicial de 60 m / s em um ângulo de 70 graus com a horizontal.
Como você calcularia qual alturahele explode em? E qual seria o tempo desde o lançamento quando explodir?
Este é um dos muitos problemas que envolvem a altura máxima de um projétil, e o truque para resolvê-los é notar que, na altura máxima, oy-componente da velocidade é 0 m / s por um instante. Ao conectar este valor paravy e escolhendo a mais apropriada das equações cinemáticas, você pode resolver este e qualquer problema semelhante facilmente.
Primeiro, olhando para as equações cinemáticas, esta salta (com subscritos adicionados para mostrar que estamos trabalhando na direção vertical):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Esta equação é ideal porque você já conhece a aceleração (umay = -g), a velocidade inicial e o ângulo de lançamento (para que você possa calcular o componente verticalvy0). Já que estamos procurando o valor desy (ou seja, a alturah) quandovy = 0, podemos substituir zero para o componente de velocidade vertical final e reorganizar parasy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Uma vez que faz sentido chamar a direção para cimay, e uma vez que a aceleração devido à gravidadegé direcionado para baixo (ou seja, no -ydireção), podemos mudarumay para -g. Finalmente, ligandosy a alturah, nós podemos escrever:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Portanto, a única coisa que você precisa resolver para resolver o problema é o componente vertical da velocidade inicial, que você pode fazer usando a abordagem trigonométrica da seção anterior. Portanto, com as informações da pergunta (60 m / se 70 graus para o lançamento horizontal), isso dá:
\ begin {alinhado} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56,38 \; \ text {m / s} \ end {alinhado}
Agora você pode resolver para a altura máxima:
\ begin {alinhado} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56,38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162,19 \ texto {m} \ end {alinhado}
Portanto, os fogos de artifício explodirão a cerca de 162 metros do solo.
Continuando o exemplo: tempo de voo e distância percorrida
Depois de resolver os fundamentos do problema do movimento do projétil com base puramente no movimento vertical, o restante do problema pode ser resolvido facilmente. Em primeiro lugar, o tempo desde o lançamento em que o fusível explode pode ser encontrado usando uma das outras equações de aceleração constante. Olhando para as opções, a seguinte expressão:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
tem tempot, que é o que você deseja saber; o deslocamento, que você conhece para o ponto máximo do vôo; a velocidade vertical inicial; e a velocidade no momento da altura máxima (que sabemos ser zero). Portanto, com base nisso, a equação pode ser reorganizada para fornecer uma expressão para o tempo de voo:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Portanto, inserir os valores e resolver paratdá:
\ begin {alinhado} t & = \ frac {2 × 162,19 \; \ text {m}} {56,38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ end {alinhado}
Portanto, os fogos de artifício explodirão 5,75 segundos após o lançamento.
Finalmente, você pode determinar facilmente a distância horizontal percorrida com base na primeira equação, que (na direção horizontal) afirma:
v_x = v_ {0x} + a_xt
No entanto, observando que não há aceleração nox-direcção, isto é simplesmente:
v_x = v_ {0x}
O que significa que a velocidade noxa direção é a mesma em toda a jornada do fogo de artifício. Dado quev = d/t, Ondedé a distância percorrida, é fácil perceber qued = vt, e assim, neste caso (comsx = d):
s_x = v_ {0x} t
Então você pode substituirv0x com a expressão trigonométrica anterior, insira os valores e resolva:
\ begin {alinhado} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {alinhado}
Portanto, ele percorrerá cerca de 118 m antes da explosão.
Problema adicional de movimento do projétil: o Dud Firework
Para um problema adicional para trabalhar, imagine o fogo de artifício do exemplo anterior (velocidade inicial de 60 m / s lançado a 70 graus com a horizontal) não explodiu no pico de sua parábola e, em vez disso, caiu no chão não explodido. Você pode calcular o tempo total de vôo neste caso? A que distância do local de lançamento na direção horizontal ele pousará, ou seja, qual é oalcancedo projétil?
Este problema funciona basicamente da mesma maneira, onde os componentes verticais de velocidade e deslocamento são as principais coisas que você precisa considerar para determinar o tempo de voo e, a partir disso, você pode determinar o alcance. Em vez de trabalhar na solução em detalhes, você pode resolver isso sozinho com base no exemplo anterior.
Existem fórmulas para o alcance de um projétil, que você pode procurar ou derivar das equações de aceleração constante, mas isso não é realmente necessário porque você já sabe a altura máxima do projétil e, a partir deste ponto, está apenas em queda livre sob o efeito de gravidade.
Isso significa que você pode determinar o tempo que o fogo de artifício leva para cair de volta ao solo e, em seguida, adicioná-lo ao tempo de vôo até a altura máxima para determinar o tempo total de vôo. A partir de então, é o mesmo processo de usar a velocidade constante na direção horizontal ao longo do tempo de voo para determinar o alcance.
Mostre que o tempo de voo é 11,5 segundos e o alcance é 236 m, observando que você precisará calcule a componente vertical da velocidade no ponto em que atinge o solo como um intermediário Passo.