Hvis du liker matematikk, vil du elske Pascals trekant. Oppkalt etter det franske matematikeren Blaise Pascal fra 1600-tallet, og kjent for kineserne i mange århundrer før Pascal som Yanghui-trekanten, er det faktisk mer enn en raritet. Det er et spesifikt arrangement av tall som er utrolig nyttig i algebra og sannsynlighetsteori. Noen av egenskapene er mer forvirrende og interessante enn de er nyttige. De hjelper til med å illustrere verdens mystiske harmoni som beskrevet i tall og matematikk.
Regelen for å konstruere Pascals trekant kunne ikke være enklere. Start med nummer én på toppen og form den andre raden under den med et par. For å konstruere den tredje og alle påfølgende rader, start med å sette en i begynnelsen og slutten. Deriver hvert siffer mellom dette paret ved å legge til de to sifrene rett over det. Den tredje raden er altså 1, 2, 1, den fjerde raden er 1, 3, 3, 1, den femte raden er 1, 4, 6, 4, 1 og så videre. Hvis hvert siffer opptar en boks som er av samme størrelse som alle de andre boksene, utgjør ordningen en perfekt ensidig trekant avgrenset på to sider av en og med en sokkel som er lik lengden på raden. Radene er symmetriske ved at de leser det samme bakover og fremover.
Pascal oppdaget trekanten, som hadde vært kjent i århundrer for persiske og kinesiske filosofer, da han studerte den algebraiske utvidelsen av uttrykket (x + y).n. Når du utvider dette uttrykket til den niende kraften, tilsvarer koeffisientene til begrepene i utvidelsen tallene i den niende raden i trekanten. For eksempel (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 og så videre. Av denne grunn kaller matematikere arrangementet noen ganger for trekanten av binomiale koeffisienter. For store antall n er det åpenbart lettere å lese utvidelseskoeffisientene fra trekanten enn å beregne dem.
Anta at du kaster en mynt et visst antall ganger. Hvor mange kombinasjoner av hoder og haler kan du få? Du kan finne ut av det ved å se på raden i Pascals trekant som tilsvarer antall ganger du kaster mynten og legger til alle tallene i den raden. Hvis du for eksempel kaster mynten tre ganger, er det 1 + 3 + 3 + 1 = 8 muligheter. Sannsynligheten for å få det samme resultatet tre ganger på rad er derfor 1/8.
På samme måte kan du bruke Pascals trekant for å finne hvor mange måter du kan kombinere objekter eller valg fra et gitt sett. Anta at du har 5 baller, og at du vil vite hvor mange måter du kan velge to av dem. Bare gå til femte rad og se på den andre oppføringen for å finne svaret, som er 5.