Algebra markerer det første sanne konseptuelle spranget studentene må gjøre i matematikkens verden, lære å manipulere variabler og arbeide med ligninger. Når du begynner å jobbe med ligninger, vil du støte på noen vanlige utfordringer, inkludert eksponenter, brøker og flere variabler. Alle disse kan mestres ved hjelp av noen få grunnleggende strategier.
Den grunnleggende strategien for algebraiske ligninger
Den grunnleggende strategien for å løse en algebraisk ligning er å først isolere det variable uttrykket på den ene siden av ligningen, og bruk deretter inverse operasjoner etter behov for å fjerne eventuelle koeffisienter eller eksponenter. En omvendt operasjon "angrer" en annen operasjon; for eksempel "angrer" divisjon multiplikasjonen av en koeffisient, og kvadratrøtter "angrer" kvadratoperasjonen til en annenmakteksponent.
Merk at hvis du bruker en operasjon på den ene siden av ligningen, må du bruke den samme operasjonen på den andre siden av ligningen. Ved å opprettholde denne regelen kan du endre måten vilkårene i en ligning er skrevet uten å endre forholdet til hverandre.
Løsning av ligninger med eksponenter
Typene av ligninger med eksponenter du vil støte på under algebraisen, kan lett fylle en hel bok. Foreløpig, fokuser på å mestre de mest grunnleggende eksponentligningene, der du har en enkelt variabel term med en eksponent. For eksempel:
y ^ 2 + 3 = 19
Trekk 3 fra begge sider av ligningen, og la det variable uttrykket være isolert på den ene siden:
y ^ 2 = 16
Fjern eksponenten fra variabelen ved å bruke en radikal med samme indeks. Husk at du må gjøre dette mot begge sider av ligningen. I dette tilfellet betyr det å ta kvadratroten på begge sider:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Som forenkler å:
y = 4
Løsning av ligninger med brøker
Hva om ligningen din innebærer en brøkdel? Tenk på eksemplet på
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Hvis du fordeler brøkdelen 3/4 over (x+ 7), ting kan bli rotete raskt. Her er en mye enklere strategi.
Multipliser begge sider av ligningen med brøkens nevner. I dette tilfellet betyr det å multiplisere begge sider av brøkdelen med 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Forenkle begge sider av ligningen. Dette fungerer for å:
3 (x + 7) = 24
Du kan forenkle igjen, noe som resulterer i:
3x + 21 = 24
Trekk 21 fra begge sider, og isoler det variable uttrykket på den ene siden av ligningen:
3x = 3
Til slutt deler du begge sider av ligningen med 3 for å løsex:
x = 1
Løse en ligning med to variabler
Hvis du harenligning med to variabler, blir du sannsynligvis bedt om å løse bare en av disse variablene. I så fall følger du omtrent samme prosedyre som du ville brukt for en algebraisk ligning med en variabel. Tenk på eksemplet
5x + 4 = 2 år
hvis du blir bedt om å løse forx.
Trekk 3 fra hver side av ligningen, og la igjenxterm av seg selv på den ene siden av likhetstegnet:
5x = 2y - 4
Del begge sider av ligningen med 5 for å fjerne koeffisienten fraxbegrep:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Hvis du ikke får annen informasjon, er dette så langt du kan ta beregningene.
Løse to ligninger med to variabler
Hvis du får et system (eller en gruppe) avtoligninger som har de samme to variablene i seg, betyr dette vanligvis at ligningene er relatert - og du kan bruke en teknikk som kalles substitusjon for å finne verdier for begge variablene. Tenk på ligningen fra det siste eksemplet, pluss en annen relatert ligning som bruker de samme variablene:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Velg en ligning, og løs den ligningen for en av variablene. Bruk i så fall det du allerede vet om den første ligningen fra forrige eksempel, som du allerede har løst forx:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Erstatt resultatet fra trinn 1 i den andre ligningen. Erstatt verdien med andre ord (2y- 4) / 5 for alle tilfeller avxi den andre ligningen. Dette gir deg en ligning med bare en variabel:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Forenkle ligningen fra trinn 2 og løse den gjenværende variabelen, som i dette tilfellet ery.
Start med å multiplisere begge sider med 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Dette forenkler å:
2y - 4 + 15y = 115
Etter å ha kombinert like termer, forenkler dette ytterligere til:
17y = 119
Og til slutt, etter å ha delt begge sider med 17, har du:
y = 7
Bytt ut verdien fra trinn 3 i ligningen fra trinn 1. Dette gir deg:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Som forenkler å avsløre verdien avx:
x = 2
Så løsningen for dette ligningssystemet erx= 2 ogy = 7.