Hvordan løse ligningssystemer ved å tegne graf

Ligningssystemer kan bidra til å løse virkelige spørsmål innen alle slags felt, fra kjemi til virksomhet til sport. Å løse dem er ikke bare viktig for mattekarakterene dine; det kan spare deg for mye tid, enten du prøver å sette mål for virksomheten din eller idrettslaget ditt.

TL; DR (for lang; Leste ikke)

For å løse et ligningssystem ved å tegne grafer, grafer du hver linje på det samme koordinatplanet og ser hvor de krysser hverandre.

Tenk deg for eksempel at du og vennen din setter opp en limonadestativ. Du bestemmer deg for å dele og erobre, så vennen din går til nabolagets basketballbane mens du bor på familiens gatehjørne. På slutten av dagen samler du pengene dine. Til sammen har du tjent $ 200, men vennen din tjente $ 50 mer enn deg. Hvor mye penger tjente hver av dere?

Eller tenk på basketball: Skudd laget utenfor 3-punktslinjen er verdt 3 poeng, kurver laget inne i 3-punktslinjen er verdt 2 poeng og frikast er bare verdt 1 poeng. Motstanderen din er 19 poeng foran deg. Hvilke kombinasjoner av kurver kan du lage for å komme i gang?

Graftegning er en av de enkleste måtene å løse ligningssystemer på. Alt du trenger å gjøre er å tegne begge linjene på samme koordinatplan, og deretter se hvor de krysser hverandre.

Først må du skrive ordproblemet som et ligningssystem. Tilordne variabler til ukjente. Ring pengene du tjenerY, og pengene vennen din tjenerF​.

Nå har du to typer informasjon: informasjon om hvor mye penger du tjente sammen, og informasjon om hvordan pengene du tjente i forhold til pengene din venn tjente. Hver av disse blir en ligning.

For den første ligningen, skriv:

siden pengene dine pluss vennens penger legger opp til $ 200.

Deretter skriver du en ligning for å beskrive sammenligningen mellom inntektene dine.

fordi beløpet du gjorde er lik 50 dollar mindre enn det vennen din tjente. Du kan også skrive denne ligningen somY​ + 50 = ​F, siden det du laget pluss 50 dollar tilsvarer det vennen din laget. Dette er forskjellige måter å skrive det samme på, og vil ikke endre det endelige svaret ditt.

Så ligningssystemet ser slik ut:

Deretter må du tegne begge ligningene på samme koordinatplan. Graf beløpet ditt,Y, påy-aksien og vennens beløp,F, påx-axis (det spiller faktisk ingen rolle hvilken som er så lenge du merker dem riktig). Du kan bruke grafpapir og blyant, en håndholdt grafkalkulator eller en online grafkalkulator.

Akkurat nå er en ligning i standardform og en i skråningsavskjæringsform. Det er ikke et problem, nødvendigvis, men av hensyn til konsistensen, få begge ligningene i skråningsavskjæringsform.

Så for den første ligningen, konverter fra standardform til skråningsavskjæringsform. Det betyr løse forY; med andre ord, fåYav seg selv på venstre side av likhetstegnet. Så trekk fraFfra begge sider:

Husk at i skråningsavskjæringsform er tallet foran F skråningen og konstanten er y-skjæringspunktet.

For å tegne den første ligningen,Y​ = −​F+ 200, tegn et punkt på (0, 200), og bruk deretter skråningen for å finne flere poeng. Skråningen er −1, så gå ned en enhet og over en enhet og tegn et punkt. Det skaper et punkt på (1, 199), og hvis du gjentar prosessen med utgangspunkt i det punktet, får du et annet poeng ved (2, 198). Dette er små bevegelser på en stor linje, så trekk et punkt tilx-intercept for å sikre at du har ting pent tegnet i det lange løp. HvisY= 0, daFvil være 200, så trekk et poeng på (200, 0).

For å tegne den andre ligningen,Y​ = ​F- 50, bruk y-skjæringspunktet på −50 for å tegne det første punktet ved (0, −50). Siden skråningen er 1, start på (0, −50), og gå deretter opp en enhet og over en enhet. Det setter deg på (1, −49). Gjenta prosessen fra (1, −49), og du får et tredje poeng ved (2, −48). Igjen, for å sikre at du gjør ting pent over lange avstander, dobbeltsjekk deg selv ved å også tegne innx-avskjære. NårY​ = 0, ​Fvil være 50, så trekk også et poeng på (50, 0). Tegn en pen linje som forbinder disse punktene.

Ta en nærmere titt på grafen din for å se hvor de to linjene krysser hverandre. Dette vil være løsningen, fordi løsningen på et ligningssystem er det punktet (eller punktene) som gjør begge ligningene sanne. På en graf vil dette se ut som punktet (eller punktene) der de to linjene krysser hverandre.

I dette tilfellet krysses de to linjene ved (125, 75). Så løsningen er at vennen din (x-koordinat) tjente $ 125, og du (y-koordinat) tjente $ 75.

Rask logisk sjekk: Er dette fornuftig? Sammen legger de to verdiene til 200, og 125 er 50 mer enn 75. Høres bra ut.

I dette tilfellet var det nøyaktig ett punkt der de to linjene krysset. Når du jobber med ligningssystemer, er det tre mulige resultater, og hver vil se annerledes ut på en graf.

• Hvis systemet har en løsning, vil linjene krysse på et enkelt punkt, slik de gjorde i eksemplet.
• Hvis systemet ikke har noen løsninger, vil linjene aldri krysse. De vil være parallelle, noe som i algebraiske termer betyr at de vil ha samme skråning.
• Systemet kan også ha uendelige løsninger, noe som betyr at de "to" linjene dine faktisk er den samme linjen. Så de vil ha hvert eneste punkt til felles, som er et uendelig antall løsninger.