La oss si at du har en funksjon, y = f (x), der y er en funksjon av x. Det spiller ingen rolle hva det spesifikke forholdet er. Det kan for eksempel være y = x ^ 2, en enkel og kjent parabel som går gjennom opprinnelsen. Det kan være y = x ^ 2 + 1, en parabel med identisk form og et toppunkt en enhet over opprinnelsen. Det kan være en mer kompleks funksjon, for eksempel y = x ^ 3. Uansett hva funksjonen er, er en rett linje som går gjennom to punkter på kurven en sekant linje.
Ta x- og y-verdiene for to punkter du vet å være på kurven. Poeng er gitt som (x-verdi, y-verdi), så punktet (0, 1) betyr punktet på det kartesiske planet der x = 0 og y = 1. Kurven y = x ^ 2 + 1 inneholder punktet (0, 1). Den inneholder også poenget (2, 5). Du kan bekrefte dette ved å koble hvert par verdier for x og y til ligningen og sørge for at ligningen balanserer begge ganger: 1 = 0 + 1, 5 = 2 ^ 2 + 1. Både (0, 1) og (2, 5) er punkter i kurven y = x ^ 2 +1. En rett linje mellom dem er en sekant, og begge (0, 1) og (2, 5) vil også være en del av denne rette linjen.
Bestem ligningen for den rette linjen som går gjennom begge disse punktene ved å velge verdier som tilfredsstiller ligningen y = mx + b - den generelle ligningen for en hvilken som helst rett linje - for begge punkter. Du vet allerede at y = 1 når x er 0. Det betyr 1 = 0 + b. Så b må være lik 1.
Erstatt verdiene for x og y ved det andre punktet i ligningen y = mx + b. Du kjenner y = 5 når x = 2 og du vet b = 1. Det gir deg 5 = m (2) + 1. Så m må være lik 2. Nå vet du både m og b. Sekantlinjen mellom (0, 1) og (2, 5) er y = 2x + 1
Velg et annet par punkter på kurven din, og du kan bestemme en ny secant-linje. På samme kurve, y = x ^ 2 + 1, kan du ta punktet (0, 1) som du gjorde før, men denne gangen velger du (1, 2) som det andre punktet. Sett (1, 2) i ligningen for kurven, og du får 2 = 1 ^ 2 + 1, noe som åpenbart er riktig, så du vet (1, 2) er også på samme kurve. Sekantlinjen mellom disse to punktene er y = mx + b: Hvis du setter 0 og 1 inn for x og y, får du: 1 = m (0) + b, så b er fortsatt lik en. Ved å koble inn verdien for det nye punktet, (1, 2) gir du 2 = mx + 1, som balanserer hvis m er lik 1. Ligningen for sekantlinjen mellom (0, 1) og (1, 2) er y = x + 1.
Referanser
- University of California, Santa Barbara: Secant Lines, Tangent Lines, and Limit Definition of a Derivative.
- Wolfram Math World: Secant Line
Tips
- Legg merke til at sekantlinjen endres når du velger et andre punkt nærmere det første punktet. Du kan alltid velge et punkt på kurven nærmere enn du gjorde før og få en ny sekantlinje. Når ditt andre punkt kommer nærmere og nærmere ditt første punkt, nærmer den sekante linjen mellom de to tangenten til kurven ved det første punktet.
om forfatteren
Andrew Breslin har skrevet profesjonelt siden 1994. Hans artikler og op-ed-brikker har dukket opp i "South Florida Sun Sentinel", "St Paul Pioneer Press", "Detroit Free Press", "Charlotte Observer," "Good Medicine," og andre. Han studerte molekylærbiologi ved Westchester University og skriver ofte om naturfag og matematikk.
Fotokreditter
Jupiterimages / Photos.com / Getty Images