En periodisk funksjon er en funksjon som gjentar verdiene sine med jevne mellomrom eller "perioder". Tenker på det som et hjerteslag eller den underliggende rytmen i en sang: Den gjentar den samme aktiviteten på en jevn takt. Grafen til en periodisk funksjon ser ut som om et enkelt mønster blir gjentatt om og om igjen.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
En periodisk funksjon gjentar verdiene sine med jevne mellomrom eller "perioder".
Typer periodiske funksjoner
De mest kjente periodiske funksjonene er trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, cotangent, secant, cosecant, etc. Andre eksempler på periodiske funksjoner i naturen inkluderer lysbølger, lydbølger og månefaser. Hver av disse, når de er tegnet på koordinatplanet, gir et gjentakende mønster i samme intervall, noe som gjør det enkelt å forutsi.
Perioden for en periodisk funksjon er intervallet mellom to "matchende" punkter i grafen. Med andre ord er det avstanden langsx-Axis at funksjonen må reise før den begynner å gjenta mønsteret. De grunnleggende sinus- og cosinusfunksjonene har en periode på 2π, mens tangens har en periode på π.
En annen måte å forstå periode og repetisjon for trig-funksjoner er å tenke på dem i form av enhetssirkelen. På enhetssirkelen går verdiene rundt og rundt sirkelen når de øker i størrelse. Den repeterende bevegelsen er den samme ideen som gjenspeiles i det jevne mønsteret til en periodisk funksjon. Og for sinus og cosinus, må du lage en full sti rundt sirkelen (2π) før verdiene begynner å gjenta seg.
Ligning for en periodisk funksjon
En periodisk funksjon kan også defineres som en ligning med dette skjemaet:
f (x + nP) = f (x)
HvorPer perioden (en ikke-null konstant) ogner et positivt heltall.
For eksempel kan du skrive sinusfunksjonen på denne måten:
\ sin (x + 2π) = \ sin (x)
n= 1 i dette tilfellet, og perioden,P, for en sinusfunksjon er 2π.
Test det ved å prøve et par verdier forx, eller se på grafen: Velg hvilken som helstx-verdi, flytt deretter 2π i begge retninger langsx-akser; dey-verdien skal være den samme.
Prøv det nå nårn = 2:
\ sin (x + (2 × 2π)) = \ sin (x) \\ \ sin (x + 4π) = \ sin (x)
Beregn for forskjellige verdier avx: x = 0, x = π, x= π / 2, eller sjekk det på grafen.
Kotangensfunksjonen følger de samme reglene, men perioden er π radianer i stedet for 2π radianer, så grafen og ligningen ser slik ut:
\ barneseng (x + nπ) = \ barneseng (x)
Legg merke til at tangent- og cotangentfunksjoner er periodiske, men de er ikke kontinuerlige: Det er "brudd" i grafene deres.