Hvordan løse lineære ulikheter

Si at du må handle på mat og du har et budsjett. Du vil kjøpe pasta og brød for en stor gruppe, men du kan ikke bruke mer enn tjue dollar. I teorien kunne du bare kjøpe brød og ingen pasta, eller mye brød og bare en eske med pasta. Hvor mange forskjellige kombinasjoner av pastabokser og brød kunne du kjøpe? Og hvordan kan du få mest mulig ut av hver for pengene?

Problemer som disse kalleslineære ulikheter: ligninger hvis graf er en linje, men i stedet for å bruke likhetstegnet, bruker de ulikhetssymboler som> eller <.>

TL; DR (for lang; Leste ikke)

For å løse en lineær ulikhet, må du finne alle kombinasjonene avxogysom gjør ulikheten sann. Du kan løse lineære ulikheter ved å bruke algebra eller ved å tegne grafer.

​Til​ ​løse en lineær ulikhet(eller en hvilken som helst ligning), må du finne alle kombinasjonene avxogysom gjør den ligningen sann.

Du kan løse lineære ulikheter algebraisk, eller du kan representere løsningene i en graf (eller begge deler!). La oss gå gjennom noen eksempler på problemer sammen.

Denne prosessen ernestendet samme som å løse en lineær ligning, men med et sentralt unntak. Ta en titt på problemet nedenfor.

Først får du altx-er på samme side av "større enn" -tegnet. Legge tilxtil begge sider for å avbrytexpå høyre side og bare harxtil venstre.

Legg nå seks til begge sider:

Så langt har dette vært akkurat som enhver lineær ligning. Men nå er ting i ferd med å endre seg!Når du deler begge sider av en ulikhet med et negativt tall, må du bytte retning på ulikhetssymbolet​.

Så for −3x> 18, vi skal dele begge sider med −3, og så skal vi snu> tegnet til et

Hva med grafer? Nok en gang er prosessen veldig lik lineære ligninger, men det er en viktig forskjell. Siden du må indikerealleav kombinasjonene avxogysom gjør en ulikhet sann, skal du tegne linjen som vanlig, og så skal du skygge i den delen av grafen som gir deg resten av de mulige løsningene.

For eksempel, hvordan vil du tegne ulikheteny​ < 3​x​ + 6?

Først vil du merke at ulikheten er iskråningsavskjæringsform, som betyr at vi kan brukey-avskjæring og skråningen for raskt å tegne linjen.

Dey-avskjæringen er 6, så tegn et punkt ved (0, 6), bruk deretter det faktum at skråningen er 3 for å gå opp tre enheter og en enhet til høyre, og trekk deretter et punkt. Poenget ditt skal være på (1, 9). For å gjøre en linje pen og pen, er det fint å få tre poeng, så trekk ett poeng til ved å starte på (1, 9) og gå opp tre, over ett igjen. Du får et poeng på (2, 12). Tegn nå en linje ved å koble sammen punktene.

Flott! Du har nettopp tegnet likestillingeny​ = 3​x+ 6, men husk at den opprinnelige ligningen ery​ < 3​x+ 6. Bruk dette enkle trikset for å skygge den riktige delen av grafen:når ulikheten er i skråningsavskjæringsform, hvis du har detyy>, skygg deretter inn alt over streken.​

Men gjør dobbeltsjekk for å være sikker! Når du skygger inn en hel del av grafen, betyr det at noen av disse punktene skal gjøre ligningen sann. Ta et tilfeldig punkt som du har skyggelagt inn og plugg innxogyinn i den opprinnelige ulikheten. Hvis det fungerer, er du klar. Hvis den ikke gjør det, må du dobbeltsjekke grafikken og / eller algebraen din.

En siste ting:når du har> eller ​ ≤, ​linjen må være solid.Dette viser om punktene på selve linjen er inkludert i løsningen.

Å løse et system med lineære ulikheter ligner veldig på å løse ligningssystemer.Graftegninger den enkleste måten å løse lineære ulikheter på.

For å tegne et system med lineære ulikheter, tegne graf for din første ulikhet som du gjorde over og skyggelegge i områdene over eller under linjen. Graf deretter den andre ulikheten. Nok en gang skal du skygge i alle seksjoner av grafen som gjør ulikheten sann. Det meste av tiden vil det være ett område på grafen du har skyggelagt over to ganger! Dette erløsningtil systemet med ulikheter, fordi det er detdelen av grafen der begge ulikhetene er sanne​.