Du kan representere en hvilken som helst linje du kan tegne på en todimensjonal x-y-akse med en lineær ligning. Et av de enkleste algebraiske uttrykkene, en lineær ligning er en som relaterer den første kraften til x til den første kraften til y. En lineær ligning kan anta en av tre former: hellingspunktformen, skråningsavskjæringsformen og standardformen. Du kan skrive standardskjemaet på en av to likeverdige måter. Den første er:
Ax + By + C = 0
hvor A, B og C er konstanter. Den andre måten er:
Ax + By = C
Merk at dette er generaliserte uttrykk, og konstantene i det andre uttrykket er ikke nødvendigvis de samme som de i det første. Hvis du vil konvertere det første uttrykket til det andre for bestemte verdier A, B og C, må du skrive
Ax + By = -C
Utlede standardskjemaet for en lineær ligning
En lineær ligning definerer en linje på x-y-aksen. Velge to punkter på linjen, (x1, y1) og (x2, y2), lar deg beregne hellingen til linjen (m). Per definisjon er det "stigningen over løpet", eller endringen i y-koordinaten delt på endringen i x-koordinaten.
m = \ frac {∆y} {∆x} = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
La nå (x1, y1) være et bestemt punkt (en, b) og la (x2, y2være udefinert, det vil si alle verdier avxogy. Uttrykket for skråning blir
m = \ frac {y - b} {x - a}
som forenkler til
m (x - a) = y - b
Dette er linjens hellingspunktform. Hvis i stedet for (en, b) velger du punktet (0,b), blir denne ligningenmx = y − b. Omorganisere for å setteyav seg selv på venstre side gir deg skråningsavskjæringsformen for linjen:
y = mx + b
Skråningen er vanligvis et brøknummer, så la den være lik -EN/B. Du kan deretter konvertere dette uttrykket til standardskjemaet for en linje ved å flyttexsikt og konstant til venstre og forenkling:
Ax + By = C
hvorC = Bbeller
Ax + By + C = 0
hvorC = −Bb
Eksempel 1
Konverter til standard skjema:
y = \ frac {3} {4} x + 2
4y = 3x + 2
4y - 3x = 2
3x - 4y = 2
Denne ligningen er i standardform.EN = 3, B= −2 ogC = 2
Eksempel 2
Finn standardformlikningen til linjen som går gjennom punktene (-3, -2) og (1, 4).
\ begin {align} m & = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} \\ & = \ frac {1 - (-3)} {4 - 2} \\ & = \ frac {4} {2 } \\ & = 2 \ end {justert}
Den generiske stigningspunktsformen er
m (x - a) = y - b
Hvis du bruker punktet (1, 4), blir dette
2 (x - 1) = y - 4
2x - 2 - y + 4 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0
Denne ligningen er i standardformØks + Av + C= 0 hvorEN = 2, B= −1 ogC = 2