Konseptet avegenverdierer uklar, men er veldig nyttig for matematikere og fysikere som står overfor visse interessante problemer.
For å forstå en egenverdi, forestill deg å ha en funksjon (f.eks.y = x2 + 6x, ellery= logg 4x) som du kan gjennomføre en eller annen prosess slik at resultatet blir det samme som å multiplisere hele funksjonen med en konstant verdi. En slik funksjon vil kunne betegnes som enegenfunksjon, og konstanten ville være en egenverdi.
- "Eigen" er tysk for "samme".
For å forstå egenverdier og egenfunksjoner best, og å kunne beregne egenverdier selv, trenger du en grunnleggende forståelse av matriser. Disse matematiske triksene brukes til å bestemme si, bindingsrekkefølgen til NO2 (nitrogendioksid) og andre molekyler, fordi elektronatferd i atomer bestemmes av bølgefunksjoner som kvalifiserer som egenfunksjoner.
Hva er en matrise?
En matrise er en rekke tall bestilt i rader og kolonner, som kan være fra 1 tiln. Dimensjonene til matrisene er gitt som rad for kolonne; for eksempel er følgende en 2-av-3-matrise:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Matriser kan legges sammen hvis de har samme størrelse (dvs. har samme antall rader og samme antall kolonner). De kan også multipliseres sammen med en trinnvis prosess under de samme forholdene. I tillegg kan enhver matrise multipliseres med en vektor, som er en 1-for-nellern-by-1 matrise; dette inkluderer andre vektorer.
Hva er en Eigenvalue ligning?
Si at du har enn-av-neller "firkantet" matriseEN, en nullern-by-1 vektorvog en skalarλ, slik at følgende ligning er oppfylt:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Enhver verdi avλsom denne ligningen har en løsning for, er kjent som en egenverdi av matrisenEN.
Ikke la tankene dine behandle de ovennevnte uttrykkene som et produkt.ENer enoperatørpå, eller en lineær transformasjon av, vektorenv, denne beregningen bare muligENogvbegge harnrader.
Hvorfor bruke Eigenvalue-funksjoner?
Derivasjonen er komplisert, men i atomkjemi brukes den Hamilton-operatøren "H-bar" for å uttrykke den kinetiske og potensielle energien til et system:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Dette brukes til å skrive en form forSchrodinger bølgefunksjon ligningi kvantemekanikk:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
HerErepresenterer egenverdiene som tilfredsstiller denne ligningen.
Måter å finne Eigenverdiene til en matrise
Fra ligningen Av = λv, får duEN v − λv=0. Dette leder til:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
HvorJeger 2-for-2 identitetsmatrisen med rader med [λ0] og [0λ], som fører til 1 når den multipliseres med skalarenλ. Dette resultatet gir:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Hvilket hvisver ikke-null, har bare en løsning hvis den absolutte verdien avEN− λJeg, eller |EN − λJeg|, er null. Hvis du gjør disse for hånd, innebærer det å løse en kvadratisk ligning og kan være kjedelig.
For å multiplisere to matriser sammen, for hvert punkt i produktmatrisen, multipliserer du de tilsvarende poengene sammen og legg dette til produktene til de gjenværende rad- og kolonneelementene i raden og kolonnen som det nye punktet til tilhører.
Ved å multiplisere to 2-av-2-matriserENogBsammen, hvis den første raden avENer [1 3] og den første kolonnen iBer [2 5], ville tallet i den første kolonnen og raden i den nye matrisen være [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, og tilsvarende for de andre tre punktene.
Beregn Eigenvalues Online
I ressursene finner du et beregningsverktøy for matriser som lar deg finne egenverdier og mer for en matrise av nesten alle tenkelige størrelser.