Før du begynner å forenkle eller på annen måte manipulere rasjonelle uttrykk, må du ta deg tid til å gjennomgå hva selve det rasjonelle uttrykket er: En brøkdel med et polynom i både teller og nevner. Eller for å si det på en annen måte, et forhold mellom ett polynom til et annet. Når du har identifisert et rasjonelt uttrykk, koker prosessen med å forenkle det ned til tre trinn.
Trinnene i å forenkle rasjonelle uttrykk
Prosessen for å forenkle rasjonelle funksjoner følger en ganske enkel veikart. Det første du må gjøre er å kombinere like vilkår, hvis du ikke allerede har gjort det, for å hjelpe deg med å se polynomene tydelig.
Neste faktor hver polynom. Noen ganger er alt du trenger å gjøre å skrive ut hvert semester. For eksempel er det klart det 4x (som faktisk er et polynom, selv om det bare har ett begrep) har to faktorer: 4 og x. Men med mer kompliserte polynomer er det beste verktøyet ditt å gjenkjenne mønstre for bestemte typer polynomer du allerede har lært om. For eksempel, hvis du har fulgt nøye med på formlene dine, kan du huske at et polynom av skjemaet
en2 - b2 faktorer ut til (a + b) (a - b).Når polynomene dine er fullstendig faktorisert, er det siste trinnet å avbryte vanlige faktorer som vises i både teller og nevner. Resultatet er ditt forenklede polynom.
Tips
Hva om polynomene i det rasjonelle uttrykket ditt ikke er av en form som du vet hvordan du enkelt kan faktorisere? Det er andre teknikker du kan bruke til å faktorisere dem, for eksempel å fullføre firkanten eller bruke kvadratformelen.
En advarsel om nevneren
Du blir kanskje ikke overrasket over å høre at det er litt fangst her. Vanligvis domenet (eller sett med mulig x verdier) for ditt rasjonelle uttrykk antas å være settet med alle reelle tall. Men hvis noe skjer for å gjøre nevneren av brøken din null, er resultatet en udefinert brøk.
Hva vil gjøre at nevneren din er null? Vanligvis er det litt undersøkelse som trengs for å finne ut. For eksempel hvis nevneren til brøkdelen din er redusert til faktorene (x + 2) (x - 2), deretter verdien x = -2 ville gjøre den første faktoren lik null, og x = 2 ville gjøre den andre faktoren lik null.
Så begge disse verdiene, -2 og 2, må utelukkes fra domenet til ditt rasjonelle uttrykk. Du vil vanligvis notere dette med "ikke like" -tegnet eller ≠. Hvis du for eksempel trenger å ekskludere -2 og 2 fra domenet, skriver du x ≠ -2, 2.
Forenkling av rasjonelle uttrykk: eksempler
Nå som du forstår prosessen med å forenkle rasjonelle uttrykk, er det på tide å se på et par eksempler.
Eksempel 1: Forenkle det rasjonelle uttrykket (x2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Det er ingen like vilkår å kombinere her, så du kan hoppe over det første trinnet. Deretter kan du med dine skarpe øyne og litt øvelse oppdage at telleren og nevneren begge enkelt blir fakturert:
(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Kanskje du også vil få øye på det (x + 2) er en faktor i både teller og nevner. Når du har kansellert den delte faktoren, sitter du igjen med:
(x - 2) / (x + 2)
Du har forenklet ditt rasjonelle uttrykk så langt du kan, men det er en ting til å gjøre: Identifiser eventuelle "nuller" eller røtter som vil resultere i en udefinert brøkdel, slik at du kan ekskludere dem fra domene. I dette tilfellet er det lett å se ved undersøkelse at når x = -2, vil faktoren på bunnen være lik null. Så det forenklede rasjonelle uttrykket ditt er faktisk:
(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2
Eksempel 2: Forenkle det rasjonelle uttrykket x / (x2 - 4x)
Det er ingen like vilkår å kombinere, så du kan gå rett til factoring ved undersøkelse. Det er ikke så vanskelig å få øye på at du kan faktorere en x ut av bunnperioden, som gir deg:
x / x (x - 4)
Du kan avbryte x faktor fra både teller og nevner, som etterlater deg med:
1 / (x - 4)
Nå er ditt rasjonelle uttrykk forenklet, men du må også merke noe x verdier som vil resultere i en udefinert brøk. I dette tilfellet, x = 4 vil gi en verdi på null i nevneren. Så svaret ditt er:
1 / (x - 4), x ≠ 4