Når du først begynner å lære om funksjoner, må du kanskje betrakte dem som en maskin: Du skriver inn en verdi,x, inn i funksjonen, og når den er behandlet gjennom maskinen, en annen verdi - la oss kalle dety- spretter ut ytterst. Utvalget av muligexinnganger som kan komme gjennom maskinen for å returnere en gyldig utgang kalles funksjonens domene. Så hvis du blir bedt om å finne domenet til en funksjon, må du virkelig finne ut hvilke mulige innganger som vil returnere en gyldig utgang.
Strategien for å finne domene
Hvis du bare lærer om funksjoner og domener, antas det vanligvis at domenet til en funksjon er "alle reelle tall." Så når du angi å definere domenet, er det ofte enklest å bruke kunnskapen om matematikk - spesielt algebra - for å bestemme hvilken tallikke er detgyldige medlemmer av domenet. Så når du ser instruksjonene "finn domenet", er det ofte enklest å lese dem i hodet ditt som "finne og eliminere alle tall somkan ikkevære i domenet. "
I de fleste tilfeller koker dette ned til å sjekke etter (og eliminere) potensielle innganger som vil føre til at brøker blir udefinerte, eller ha 0 i sin nevner, og se etter potensielle innganger som vil gi deg negative tall under en kvadratrot skilt.
Et eksempel på å finne domene
Tenk på funksjonen
f (x) = \ frac {3} {x - 2}
som virkelig betyr at et hvilket som helst nummer du skriver inn kommer til å bli ploppet ned i stedet forxpå høyre side av ligningen. For eksempel hvis du beregnetf(4) du ville hatt
f (4) = \ frac {3} {4 - 2}
som går ut til 3/2.
Men hva om du regnet utf(2) eller, med andre ord, inngang 2 i stedet forx? Da ville du ha
f (2) = \ frac {3} {2 - 2}
som forenkler til 3/0, som er en udefinert brøk.
Dette illustrerer en av to vanlige forekomster som kan ekskludere et tall fra domenet til en funksjon. Hvis det er en brøk involvert, og inngangen vil føre til at nevneren til den brøkdelen er null, må inngangen ekskluderes fra funksjonens domene.
En liten undersøkelse vil vise deg at absolutt hvilket som helst tallunntatt2 vil returnere et gyldig (hvis noen ganger rotete) resultat for den aktuelle funksjonen, så domenet til denne funksjonen er alle tall bortsett fra 2.
Et annet eksempel på å finne domene
Det er en annen vanlig forekomst som vil utelukke mulige medlemmer av en funksjons domene: Å ha en negativ mengde under et kvadratrottegn, eller en radikal med en jevn indeks. Tenk på eksempelfunksjonen
f (x) = \ sqrt {5 - x}
Hvisx≤ 5, så vil mengden under radikaltegnet være enten 0 eller positiv, og returnere et gyldig resultat. For eksempel hvisx= 4,5 du ville hatt
f (4.5) = \ sqrt {5 - 4.5} = \ sqrt {0.5}
som, selv om det er rotete, fortsatt gir et gyldig resultat. Og hvisx= −10 du ville hatt
f (-10) = \ sqrt {5 - (-10)} = \ sqrt {5 + 10} = \ sqrt {15}
som igjen gir et gyldig hvis rotete resultat.
Men forestill deg detx= 5.1. I det øyeblikket du tipper over skillelinjen mellom 5 og et tall som er større enn det, ender du opp med et negativt tall under radikalen:
f (5.1) = \ sqrt {5 - 5.1} = \ sqrt {-0.1}
Mye senere i matematikkarrieren vil du lære å gi mening om negative kvadratrøtter ved å bruke et konsept som kalles imaginære tall eller komplekse tall. Men foreløpig utelukker det å ha et negativt tall under det radikale tegnet den inngangen som et gyldig medlem av funksjonens domene.
Så, i dette tilfellet, fordi et hvilket som helst tallx≤ 5 returnerer et gyldig resultat for denne funksjonen og et hvilket som helst tallx> 5 returnerer et ugyldig resultat, domenet til funksjonen er alle tallx ≤ 5.