Matematiske funksjoner er kraftige verktøy for næringsliv, ingeniørfag og vitenskap, fordi de kan fungere som miniatyrmodeller av virkelige fenomener. For å forstå funksjoner og relasjoner, må du grave litt i begreper som sett, ordnede par og relasjoner. En funksjon er en spesiell type forhold som bare har enyverdi for en gittxverdi. Det finnes andre typer relasjoner som ser ut som funksjoner, men som ikke oppfyller den strenge definisjonen av en.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
Et forhold er et sett med tall organisert i par. En funksjon er en spesiell type forhold som bare har enyverdi for en gittxverdi.
Sett, bestilte par og relasjoner
For å beskrive relasjoner og funksjoner hjelper det å først diskutere sett og ordnede par. Kort fortalt er et sett med tall en samling av dem, vanligvis inneholdt i krøllete bukseseler, for eksempel {15,1, 2/3} eller {0, .22}. Vanligvis definerer du et sett med en regel, for eksempel alle partall mellom 2 og 10, inkludert: {2,4,6,8,10}.
Et sett kan ha et hvilket som helst antall elementer, eller ingen i det hele tatt, det vil si nullsett {}. Et ordnet par er en gruppe på to tall som er lukket i parentes, slik som (0,1) og (45, −2). For enkelhets skyld kan du kalle den første verdien i et bestilt par for
xverdi, og den andre denyverdi. Et forhold organiserer ordnede par i et sett. For eksempel er settet {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} en relasjon. Du kan plottexogyverdier av en relasjon på en graf ved hjelp avxogyøkser.Relasjoner og funksjoner
En funksjon er et forhold der en gittxverdien har bare en tilsvarendeyverdi. Du tror kanskje det med bestilte par hverxhar bare enyverdi uansett. Imidlertid, i eksemplet på en relasjon gitt ovenfor, merk atxVerdiene 1 og 2 har hver to tilsvarendeyverdier, henholdsvis 0 og 5 og 10 og 15. Denne relasjonen er ikke en funksjon. Regelen gir funksjonsforholdet en definitivitet som ellers ikke eksisterer, mhtxverdier. Du kan spørre nårxer 1, hva eryverdi? For forholdet ovenfor har spørsmålet ikke noe bestemt svar; det kan være 0, 5 eller begge deler.
Undersøk nå et eksempel på en relasjon som er en sann funksjon: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Dexverdier blir ikke gjentatt hvor som helst. Som et annet eksempel, se på {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Noenyverdiene gjentas, men dette bryter ikke regelen. Du kan fremdeles si at når verdien avxer 0,yer definitivt 5.
Graffunksjoner: Vertikal linjetest
Du kan se om en relasjon er en funksjon ved å plotte tallene i en graf og bruke den vertikale linjetesten. Hvis ingen vertikal linje som går gjennom grafen, skjærer den på mer enn ett punkt, er forholdet en funksjon.
Fungerer som ligninger
Å skrive ut et sett med ordnede par som en funksjon er et enkelt eksempel, men blir fort kjedelig når du har mer enn noen få tall. For å løse dette problemet skriver matematikere funksjoner i form av ligninger, for eksempel
y = x ^ 2 - 2x + 3
Ved å bruke denne kompakte ligningen kan du generere så mange ordnede par du vil: Plugg inn forskjellige verdier forx, gjør matte, og ut kommer dinyverdier.
Virkelig bruk av funksjoner
Mange funksjoner fungerer som matematiske modeller, slik at folk kan forstå detaljer om fenomener som ellers ville forbli mystiske. For å ta et enkelt eksempel er avstandsligningen for et fallende objekt
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
hvorter tid i sekunder, ogger akselerasjonen på grunn av tyngdekraften. Plugg inn 9,8 for jordens tyngdekraft i meter per sekund i kvadrat, og du kan finne avstanden et objekt falt til enhver tid. Vær oppmerksom på at modeller har begrensninger for all sin nytte. Eksemplets ligning fungerer bra for å slippe en stålkule, men ikke en fjær fordi luften senker fjæren ned.