I matematikk er en funksjon en regel som relaterer hvert element i ett sett, kalt domenet, til nøyaktig ett element i et annet sett, kalt området. På enx-yakse, er domenet representert påx-akse (horisontal akse) og domenet påyakse (vertikal akse). En regel som relaterer ett element i domenet til mer enn ett element i området, er ikke en funksjon. Dette kravet betyr at hvis du tegner en funksjon, kan du ikke finne en vertikal linje som krysser grafen mer enn ett sted.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
En relasjon er en funksjon bare hvis den relaterer hvert element i domenet til bare ett element i området. Når du tegner graf for en funksjon, vil en vertikal linje krysse den på bare ett punkt.
Matematisk representasjon
Matematikere representerer vanligvis funksjoner med bokstavene "f(x), "selv om andre bokstaver fungerer like bra. Du leser bokstavene som "favx. "Hvis du velger å representere funksjonen somg(y), vil du lese den som "gavy. "Ligningen for funksjonen definerer regelen som inngangsverdien brukes med
xblir forvandlet til et annet tall. Det er uendelig mange måter å gjøre dette på. Her er tre eksempler:f (x) = 2x \\ \, \\ g (y) = y ^ 2 + 2y + 1 \\ \, \\ p (m) = \ frac {1} {\ sqrt {m - 3}}
Bestemme domenet
Settet med tall som funksjonen "fungerer" for er domenet. Dette kan være alle tall, eller det kan være et spesifikt sett med tall. Domenet kan også være alle tall unntatt ett eller to som funksjonen ikke fungerer for. For eksempel domenet for funksjonen
f (x) = \ frac {1} {2-x}
er alle tall unntatt 2, for når du skriver inn to, er nevneren 0, og resultatet er udefinert. Domenet for
\ frac {1} {4 - x ^ 2}
derimot, er alle tall unntatt +2 og −2 fordi kvadratet til begge disse tallene er 4.
Du kan også identifisere domenet til en funksjon ved å se på grafen. Begynn ytterst til venstre og flytt til høyre, og trekk loddrette linjer gjennomx-akser. Domenet er alle verdiene avxsom linjen skjærer grafen for.
Når er en relasjon ikke en funksjon?
Per definisjon relaterer en funksjon hvert element i domenet til bare ett element i området. Dette betyr at hver loddrett linje du trekker gjennomx-akse kan krysse funksjonen på bare ett punkt. Dette fungerer for alle lineære ligninger og ligninger med høyere effekt der bare x-begrepet heves til en eksponent. Det fungerer ikke alltid for ligninger der beggexogyvilkår blir hevet til en makt. For eksempel,x2 + y2 = en2 definerer en sirkel. En vertikal linje kan krysse en sirkel på mer enn ett punkt, så denne ligningen er ikke en funksjon.
Generelt sett et forholdf(x) = yer en funksjon bare hvis, for hver verdi avxat du kobler til den, får du bare en verdi fory. Noen ganger er den eneste måten å fortelle om et gitt forhold er en funksjon eller ikke, å prøve forskjellige verdier for x for å se om de gir unike verdier fory.
Eksempler:Definerer følgende ligninger funksjoner?
y = 2x +1
Dette er ligningen til en rett linje med skråning 2 ogy-intercept 1, så detERen funksjon.
y ^ 2 = x + 1
Lax= 3. Verdien for y kan da være ± 2, så detteER IKKEen funksjon.
y ^ 3 = x ^ 2
Uansett hvilken verdi vi setter forx, får vi bare en verdi fory, så detteERen funksjon.
y ^ 2 = x ^ 2
Fordiy = ±√x2, detteER IKKEen funksjon.
