3 Metoder for å løse ligningssystemer

De tre metodene som oftest brukes til å løse ligningssystemer er substitusjon, eliminering og utvidede matriser. Substitusjon og eliminering er enkle metoder som effektivt kan løse de fleste systemer av to ligninger i noen få enkle trinn. Metoden med utvidede matriser krever flere trinn, men anvendelsen utvides til et større utvalg av systemer.

Substitusjon er en metode for å løse ligningssystemer ved å fjerne alle variablene unntatt en i ligningene og deretter løse den ligningen. Dette oppnås ved å isolere den andre variabelen i en ligning og deretter erstatte verdiene for disse variablene i en annen ligning. For eksempel, for å løse ligningssystemet x + y = 4, 2x - 3y = 3, isoler du variabelen x i den første ligning for å få x = 4 - y, erstatt deretter denne verdien av y i den andre ligningen for å få 2 (4 - y) - 3y = 3. Denne ligningen forenkler til -5y = -5, eller y = 1. Koble denne verdien til den andre ligningen for å finne verdien av x: x + 1 = 4 eller x = 3.

Eliminering er en annen måte å løse ligningssystemer ved å omskrive en av ligningene i form av bare en variabel. Eliminasjonsmetoden oppnår dette ved å legge til eller trekke ligninger fra hverandre for å eliminere en av variablene. Hvis du for eksempel legger til ligningene x + 2y = 3 og 2x - 2y = 3, får du en ny ligning, 3x = 6 (merk at y-vilkårene ble kansellert). Systemet løses deretter ved å bruke de samme metodene som for erstatning. Hvis det er umulig å avbryte variablene i ligningene, vil det være nødvendig å multiplisere hele ligningen med en faktor for å få koeffisientene til å matche seg.

Utvidede matriser kan også brukes til å løse ligningssystemer. Den utvidede matrisen består av rader for hver ligning, kolonner for hver variabel og en forstørret kolonne som inneholder den konstante termen på den andre siden av ligningen. For eksempel er den forstørrede matrisen for ligningssystemet 2x + y = 4, 2x - y = 0 [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Det neste trinnet innebærer å bruke elementære radoperasjoner som å multiplisere eller dele en rad med en annen konstant enn null og legge til eller trekke fra rader. Målet med disse operasjonene er å konvertere matrisen til rad-echelon-form, der den første oppføringen som ikke er null i hver rad er 1, oppføringer over og under denne oppføringen er alle nuller, og den første oppføringen som ikke er null for hver rad er alltid til høyre for alle slike oppføringer i radene over det. Rad-echelon-form for matrisen ovenfor er [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Verdien av den første variabelen er gitt av den første raden (1x + 0y = 1 eller x = 1). Verdien til den andre variabelen er gitt av den andre raden (0x + 1y = 2 eller y = 2).

Substitusjon og eliminering er enklere metoder for å løse ligninger og brukes mye oftere enn utvidede matriser i grunnleggende algebra. Substitusjonsmetoden er spesielt nyttig når en av variablene allerede er isolert i en av ligningene. Eliminasjonsmetoden er nyttig når koeffisienten til en av variablene er den samme (eller dens negative ekvivalent) i alle ligningene. Den primære fordelen med utvidede matriser er at den kan brukes til å løse systemer med tre eller flere ligninger i situasjoner der substitusjon og eliminering enten er umulig eller umulig.